LIGNES CONJUGUÉES
alors Tautre famille est définie par ré({uation diiTérentielle :
('''•5Î-'-5Î)^" + ('"sî-<^'5*)* = »-
La construction d*un système conjugué sur une surface quelconque semble donc exiger une intégration difficile. La proposition suivante, due à M. Kœnigs, nous montrera qu*il est possible, sans effectuer aucune intégration, de construire une infinité de systèmes conjugués sur une surface absolument quelconque.
Théorème de M. Kœnigs, — Les sections de la surface, déterminées « par tous les plans qui contiennent la droite D, admettent pour lignes « conjuguées les courbes de contact des cônes circonscrits à la surface, « ayant leurs sommets sur cette droite.
En effet soient : M, un point de la surface ; A le point de rencontre do la droite D avec le plan tangent en M ; C, la courbe de contact du cône circonscrit à la surface ayant pour sommet le point A; et MT, la tangente menée par le point M à la courbe C. La tangente MT a pour conjuguée (propriété fondamentale des tangentes conjuguées) la génératrice MA du cône; or, cette dernière est aussi la tangente en M à la section faite dans la surface par le plan M AD; le théorè^nc est donc démontré.
On trouvera des applications de ce théorème dans le Traité de M. Darboux (livre I, p. 112).
Condition pour que les lignes coordonnées fornvjnt un systhne conjugué, — Les coefficients de directions (X , u) des tangentes asymptotiques au point M (;e, v) sont définis, comme on a vu, par Téquation :
E'xa 4- 2F'X;a + GV^ = o.
Pour que ces tangentes soient conjusfuées par rapport aux tangentes MU, MV, il faut et il suffit (V. p. 113) que :
Fzzzo,
c'est-à-dire :
ht
APPLICATIONS GÉOMÉTR
IQUES.
Telle est la condition cherchée. Il est clair qu*on peut Ténoncer ainsi (V. Théorie des Surfaces j livre I, p. 102) :
« Pour que les lignes coordonnées forment un système conjugué, il M faut et il suffit quclesexpressionsdestroiscoordonnées rectangulaires « en fonction de n et v satisfassent à une môme équation linéaire :
« OÙ A et B désignent des fonctions quelconques de u et v.
Pour les applications de ce théorème, nous renvoyons encore le lecteur à la Théorie des Surfaces.
Remarque. — Supposons la condition précédente remplie. Alors les formules de Gauss montrent que :
A =:iL. B = v'.
