FORMULES D'OLINDE RODRIGUES

§ i. — Equation différentielle des lignes de courbure

Nous avons vu (p. 140) qu'en tout point d*iine li^ne de courbure

l'invariant ;« — — est nul. Cette propriété, qui nous a servi pour carac

tériser les lignes de courbure, a une signification géométri({ue simple. Elle exprime, en vertu de la théorie des développées (p. 93), que :

« Les normales à la surface aux diiTérents points d'une ligne de cour- « bure engendrent une surface développable. »

Cherchons les lignes de courbure :

de la surface ; nous avons vu que :

<lf3

as (is

ds ils

,,, du dv

* d^+^'Ts

donc, si on ne précise pas la variable indépendante, l'équation dilTérentielle des lignes de courbure est :

E'du + F'dc F'du + G'dv Edu + Fdv ~ Vdu + Gdv'

Supposons qu'on ait obtenu une ligne de courbure et clierchons en un point M {u, v) do cette courbe le point de contact [ de la normale MW avec son enveloppe. La théorie des développées montre que ce point I a pour projection sur le plan osculateur de la courbe r précisément le centre de courbure de cette courbe; donc si on représente par p le segment Ml

on a :

et, par suite,

MI = p,

1 çosCT VJdu^ + ^¥'(hidv 4- G'(Jv^ p "~ R ~" Edii^- + "iVdudv + G</«?2 '

1 Y/du + FV/i? ¥'dif + Q'dc p '" Y.dn 4- ¥dv ~ ¥du + Gdv '

Réalité des lignes de courbure. — L*équation en p :

(2) (E - pE') (G - pG'j - «F - pF')» " ^ o,

a ses racines réelles et distinctes. Il sufïît pour le voir de substituer les nombres f O, ~ ^^ J et de remarquer que Ton a essentiellement :

EG - F^ > o.

Il y a exception toutefois si :

dans ce cas, la surface est, comme nous le verrons, une sphère. Toute courbe tracée sur .cette sphère est évidemment une ligne de courbure. Nous écartons ici ce cas particulier.

de Il résulte évidemment de là (pie l'équation en y- a ses racines réelle»

et distinctes. Donc :

11 existe deux familles de lignes de courbure :

(p(«, r) — a, '\'[ft,v) -vzh.

Ces familles sont toujours réelles. Par chaque point de la surface passe une courbe de chaque famille.

Remarque. — Les normales à la surface engendrent évidemment une congruence Les points focaux \\ et la d'une normale MW sont, en

vertu de la théorie des congruences, définis par :

MI, ~ Pi, MI2 — p2,

où p, et ps sont les racines de (2). Les plans focaux sont les plans passant par M\V, et les tangentes MT|. MTj aux lignes de courbure qui se croisent en M. Ces plans focaux sont, comme nous allons voir, rectangulaires.

Orthogonalité des lUjnes (h courbure, — Soient (X,, ijl,) et (Xj, 1x2) les paramètres superficiels des tangentes Mï,, MTj. On a par ce qui précède :

1 E-X. +FV. FX,+GV.

'' P, ~ EX, +Ftx, ~ FX,+Ga/

i E-X, + FV2 . FX2 + GV2 ' ^ Pa ~ EX2 + F|i2 "^ FX2 + Goi

Ceci posé, en vertu des équations i3), le quotient:

E'X,X2 + F'(X<{/^ + ^af^r) + GViîx-j EXiXâ + F(X,jjL2 + X2a2) + GfiL|a2

est égal à ( — ) ; mais, en vertu des équations (4), ce même quotient est

<'*gal à ( — ) ; or, p, et p^ sont distincts, donc le quotient considéré est indéterminé, et on a :

EXjX^ + 1' (^^11*2 + '-i!^*) + GîA,{A2 ^ 0, E'X,X.j -}" F '/«î^2 "F ^%\h\) 4" G'[X|fjL2 = 0.

La première relation exprime que MT| et MT2 sont rectangulaires (V. p. 1121, ce que nous voulions démontrer. La deuxième exprime que MT, et MT2Sont deux tangentes conjuguées (p. il3); donc MT, etMT2 sont les bissectrices des angles formés par les tangentes asymptotiques issues de M.

Conditions pour que les lignes coordonnées soient lignes de courbure. — Il faut et il suffit, pour cela, que les lignes coordonnées forment un système à la fois orthogonal et conjugué. Les conditions cherchées sont donc :

150 CHAÏMTRE VI

S 2. — Sections principales. Centres de courbure principaux

Soient :

M (u, r), un point de la surface ;

MT, une tangente issue du point M ;

X, a, les paramètres directeurs de cette tangente MT ;

I, le centre de courbure de la section normale TM W ;

p, le rayon de courbure MI de cette section.

Supposons que la tangente MT tourne autour du point M et cherchons pour quelles positions de cette tangente MT le rayon decourbure p est maximum ou minimum. En vertu d'une formule fondamentale (p. 133), on a :

P avec :

I = EX* + 2FXîiL + Bil.^

Les valeurs maximum et minimum de p et les valeurs de(X, ji) qui leur correspondent sont données par le système :

1 EX + FV F X + GuL p "" EX + FfjL "~ FX + Gîx ' EX» + 2FX|iL + Gix> = 1.

donc les positions cherchées pour MT sont les tangentes que nous avons désignées par MT| et MT2.

Les sections normales déterminées par les plans T|MW et TjMW sont dites des sections principales ; les plans T<M\V et T2MW sont appelés \es plans principaux au point M. Ces derniers coïncident {i 1) avec les plans focaux de la normale, ils sont donc rectangulaires.

Les centres de courbure des sections principales sont appelés les centres de courbure principaux ; Téquation qui les détermine montre qu'ils coïncident avec les points focaux delà normale M\V.

Les tangentes MT^ et MT2 aux sections principales seront appelées les tangentes principales ,

Remarque. — Nous avons toujours supposé la direction MW de la normale en M choisie de manière que le trièdre (MU, MV, MW) ait la disposition directe. II est clair que cette hypothèse n'est pas forcée en

ce qui concerne la formule :

car, si on change le sens positif de la normale MW, la valeur p du segment MI et les quantités

E'^Va^, F'^Va-^, G'^Va^

changent de signe, et la formule subsiste.

§3. — Variation du rayon de courbure d'une section normale

Formule d'Euler

Prenons pour lignes coordonnées les lignes de courbure de la surface ; alors :

et la formule qui donne le rayon de courbure p de la section normale déterminée par le plan TMW devient .

avec:

1 1^ EXa + Ga«.

Les rayons de courbure principaux pi et p2 ont alors les valeurs

simples :

JL E' 1 G'.

Pa "" E' Pi "" Tî'

par suite :

Or, les paramètres superficiels s'expriment en fonctions des paramètres ordinaires, pris dans le plan MUV, par les formules (p. iH) :

1 costo sin o>

i:^ CHJkftTBE TI

• =SlU.lî^.

1 «-to**» *in*M

Cette fonc^..^. d^ie â Eu>r. permet d'étsdier la Tarîalion de p quand IIT toorije aiî^c^r d~ pcfut 11. N-cs laisserons an lecteur le soin de faire cette di5<:i2%çxn \r*is (rkiii€-r.!âire. BemafqQons que s devient infini quand )IT se cfmfoiKd arec une tangente asrmptolîqne.

La formule d'Eoler n^c-otre imn^édiatement qne le plan tangent ira- Ter$e la surface au p^*:ct >l. si ;i et z^ sont de signes contraires; la conclusion est inTerse. si p, et ps sont de même signe.

{4. — OrnbiUrs. S>'rfac€* ifont (otfs les poinis sont des ombilics

On a TU qu*en un point M de la surface les rayons de courbure principaux p4 et p2 sont distincts, à moins que 1 on ait en ce point :

On dit, dans ce dernier cas^ que le point M est un om&tVicdela surface.

Cherchons 1rs surfaces dont tous les points sont des ombilics. Soit S Tune quelconque d'entre elles. Lesdérivées des cosinus directeurs a, 5, c de la normale en un point sont données par les formules (p. 121) :

~ + E'a^ + F'fl,=o, ^+Fa, +G'a, = o,

et les analogies, que l'on obtient par permutation. Mais par hypothèse : E' T.. — ).E, F = — XF, G' = — XG;

donc :

^ =r. X (Ea, + Fa,),

c'est-à-dire si on reporte aux formules qui donnent a^ eia^i

de là on tire :

ou bien:

^u Dw Dt? \ <)w/ ^u \ î>t?/

On démontre de même que :

^v hi

cH? ^u

Donc:

et, par suite,

Les formules (2) donnent alors :

Xq étant une nouvelle constante. Do même:

En portant ces valeurs de a, b^ c dans la relation :

on voit que les coordonnées o?, y, 5-, d'un point quelconque de la surface satisfont à la relation :

{x - x,)^ + [y - yoJ* + (^ - ^0 )' -- R'- Donc la surface est une sphère, comme nous Tavions annoncé (p. 148).

j 5- — Formules cTOlinde Rodrigue-^

Pour exprimer qu'une courbe F :

est une ligne de courbure de la surface, il suffit d écrire que la normale MVV à la surface menée par un point quelconque M de la courbe a une enveloppe quand i varie. Cherchons en partant de là les lignes de courbure de la surface. A chaque point M de T; faisons correspondre sur la normale MW un point P, tel que :

\jQ lieu des points F est la courbe Ff définie par :

!X = j? -f- pa, Y = y + P*.

Z^^y + pc.

La tangente PQen un point P de (F^) a pour coefficients de direction :

dx + part 4* «^^f » dy + 9^^^ 4- ^^'r' ^^^ + p^'^ + ^^h-

Pour que la ligne F soit ligne de courbure, il faut et il suffit que l'on puisse déterminer p de manière que les lignes PQ et PM se confondent (quel que soit Pj, de manière, en d'autres termes, que :

d.r 4- x'^i(t (/y -\- pdb dz -\- pdc

Chacun de ces rapports doit être égal à :

adx -\- hdy -\- cdz

Donc :

( dx + ^da ~- o, (1) dy + fdb = 0.

( dz -f- p^<^" = 0"

Ces trois équations se réduisent à deux, puisque la combinaison linéaire qui a pour multiplicateurs a, 6, e, se réduit à une identité. Si on prend pour variable indépendante t la coordonnée n, les équations précédentes définissent v et p. Les formules (1) sont dues à Olinde Rodrigues ; il y a souvent avantage à les utiliser pour la recherche des lignes de courbure.

On peut en déduire aisément les formules (i) du § 1. Kn effet :

i da (t/6 de

p dx dy dz

d'où:

Or, les équations qui définissent E, F, G, E', F', G' (p. 118), montrent

immédiatement que :

1 E'du + F'dv F'dft + G'dv p " Edti -f Fdv ~ Fdu + Gdv *

Remarque. — Des formules (1) on tire :

da rfô dc^^

^ dx dy dz

Ces formules peuvent être démontrées très simplement de la manière suivante. Soient comme d'habitude :

0/M, le segment directeur de MW ;

La dérivée géométrique de Om par rapport à t est parallèle au plan tangent en M, puis({ue :

ada -\- bdb + cdc =z o;

d'autre part, elle est perpendiculaire à M0, en vertu de la définition des lignes de courbure (p. 140) : donc elle est parallèle à MT, et on a les formules f2).

A QUELQUES SURFACES PARTICLTJÈRES