CL\SSE PARTICULIÈRE DE SITIFACES DE MONGE

SI. — 0>/i^-f . S'*^fLi'^t's *h reçoit' f ion

L*fjnf*% *h^*i^Arh.»r^: 'f.'„*i'jne. — Le< géoéralriees cousUlaent unepre* miêre famille de lignes d^ l'oarhare. car les normales en tous les points d'une g»}fiératrice sont parailelt-s, et par suite dans on mt'me plan. La s4*conde famille se compose des courbes coupant orthogonalemenl les génératrices, cesl-à-dire des sections «lu cône donné S par des sphères ayant pour centre le sommet O.

Centres (h t-o'n'hiwe prÎHcfprtt'x cn *'/* poiiït (i'f'ti ^ôtie. — LUn des points focaux de la normale au point M du cône est rejeté à Tinfîni, c*esl c<*lui qui correspond au d('*placement du point M sur la génératrice OM. Pour obtenir le second, considérons le plan normal au cône S suivant la génératrice OM; quand cette génératrice varie, le plan normal a pour enveloppe un cône S| de même sommet que S. Le second centre de courbure principal en M, c'est-à-dire le second point focal de la normale en M, est évidemment le point de contact I de cette normale avec le cône S|.

Soit (C) la ligne de courbure sphérique qui passe par le point M. Si on considère la courbe C comme appartenant à la sphère O de rayon OM, et si on lui applique le théorème de Meusnier, on voit que Taxe du cercle osculateur en M passe par le point O. Si, au contraire, on considère la courbe C comme appartenant au cône S, et si on lui applique encore le théorème de Meusnier, on voit que Taxe passe par le point I. Donc l'axe du cercle osculateur au point M delà courbe C se confond avec

la génératrice 01 du cône S^. On peut dire aussi que « la projection du point M sur la droite 01 est le centre de courbure de la courbe C au point M ».

On peut retrouver tous les résultats précédents par le calcul ; mais alors il convient de prendre les équations du cône sous la forme (p. 18 1 :

où a, p, Y, sont des fonctions de v satisfaisant à :

Si on a soin de prendre pour variable i? l'abscisse curviligne d'un point quelconque de la directrice curviligne, on aura, en outre,

Cône de révolution, — Supposons le cône S de révolution; alors les lignes de courbure sont les génératrices et les parallèles. Le cône S| se réduit à une droite qui est Taxe du cône S. Le centre de courbure principal en un point M est le point de rencontre de Taxe avec la normale en M.

Cône oscuJaleur à un cône donné, — Considérons de nouveau le cône quelconque S, la génératrice OM et la génératrice correspondante 01 sur le cône S,. Concevons le cône de révolution L qui a pour axe 01 et pour génératrice OM ; ce cône S et le cône S ont en chaque point de OM le mémo centre de courbure principal. On dit que le cône S est le cône oscvlateur de S suivant la génératrice OM. Coupons ces deux cônes par un plan quelconque passant par M et normal aux deux cônes . Si on applique la formule d'EuIer à ces deux cônes, on aperçoit immédiatement que les deux sections normales ont même cercle osculateur en M. Cette propriété justifie la dénomination du cône S.

Surfaces quelconques de révolution, — Les normales à une surface de révolution en tous les points d'un méridien sont dans le plan méridien ; donc les méridiennes forment une famille de lignes de courbure. Les normales en tous les points d'un parallèle rencontrent Taxe au même point; elles engendrent un cône, c'est-à-dire une surface développable ; donc les parallèles constituent la seconde famille de lignes de courbure.

Les points focaux d'une normale M\V sont évidemment son point de rencontre avec Taxe et le centre de courbure en M de la méridienne ; ces points sont aussi, d'après ce que Ion a démontré (p. 150), les centres de courbure principaux de la surface au point M.

§ 2. — Surfaces développables

Lignes de courbure, — Considérons une surface S développable, mais non conique. Les génératrices constituent une première famille de lignes de courbure, car, en tous les points d'une génératrice, les normales sont parallèles et, par suite, dans un môme plan. La seconde famille se compose dès lors des courbes qui coupent orthogonalement les génératrices, c'est-à-dire des développantes de l'arête de rebroussemcnt fp. 94). Ce résultat est d'ailleurs une conséquence du calcul de la forme (E du «-}- ^Fdudv + Gdv^).

Soient :

(r) ce — / (r), !/ = 1/ (v), s — h (r).

les équations de Tarète de rebroussement, en supposant que v représente l'abscisse curviligne d'un point quelconque de la courbe. Les équations de la développable sont alors :

X = a? + «a, \ zz:i y ~\- ?<p, Z =: -3' -|- My,

avec :

dx ^ du dz

dv ^ dv * do

Désignons, comme dans la théorie des courbes gauches, par MT, MN<, MN2, les arêtes du trièdre de Serret, relatif au point M (a:, y, z) de la courbe (r). Soient :