MT
Yi-
MN
Pî,
MN
les neuf cosinus de ce trièdre. On a, en vertu des formules de Serret,
dX = ( « + p «I ) f^^ + «^^^'>
dZ z= (y + ^yAdv + '(du; donc:
dX^ + dY^ + dl? = du^ + Mudxi + A + ^j) ^^^y
c'est-à-dire :
avec:
donc les lignes qui coupent orthogonalement les génératrices sont les lignes :
c'est-à-dire les développantes de Taréte de rebroussement.
Centres de courbure principaux, — L'un des centres de courbure principaux au point P [u^ v) est évidemment rejeté à Tinfini. Pour obtenir le second, considérons le plan TMNa normal à la surface suivant la génératrice MP. Ce plan a une enveloppe S ; sa caractéristique est (p. 96) une droite D passant par M et ayant pour équation :
nous désignons ici par u et p les coordonnées d*un point du plan TMNj par rapport aux axes MT et MN2. Le second centre de courbure principal en P, c'est-à-dire le second point focal de la normale en P, est évidemment le point de contact I de cette normale avec S, c'est-à-dire le point où cette normale rencontre la droite D. Le rayon de courbure principal au point P a donc pour valeur (en grandeur et en signe) :
La droite D est le lieu des centres de courbure principaux aux dilTérents points de la génératrice issue de M.
Autre méthode pour calculer p. — On peut aussi obtenir p en appliquant Téquation aux rayons de courbure principaux :
(K — pE') (G — pG') — (F - pF7 = o.
Il suffit d'y remplacer E, F, G, E', F', G', par leurs valeurs. Nous venons de trouver que :
E = l, F = l, G = i + ~ Reste à calculer E', F', G'. Remarquons, à cet eiïet, que la normale
en un point P (^s v) est parallèle à la hinormale MN2; choisissons donc comme direction positive de la normale au point P la direction MXj (V. /?tfm., p. 150). Dans ces conditions :
On trouve aisément à Taide des formules de Serret :
Ce résultat est évident a priori, si on remarque que Téquation des lignes asymptotiques doit se réduire à (p. 141):
dv'' ~ o.
Quant à Texpression de G', on peut Fécrire h
ou bien :
^ ^ R Zj *a f^«; — R Zi V R "^ T/ *'^ "" RT
Fin résumé :
E = 1, F = 1, G = 1 + jY*,
E' = o, F' = o, G' -. — |-~,- [^'équation en p donne alors :
pG' = G — 1 = ^'
et, par suite,
ce ({ui est bien le résultat déjà obtenu par un autre procédé.
§3. — Surfaces du second degré
Considérons une surface à centre (S).
Choisissons pour coordonnées superQcielles (h, v] d'un point M (.r, y, z) de la surface les racines de Téqualion en X :
Dans ces conditions, les lignes coordonnées qui se croisent en M sont les. intersections de la surface avec les deux surfaces homofocales à S et passant par le point M. Les expressions de a?^, y**, z^ en fonction de ti, r sont :
2 A (A — u) ik — v)
Les équations (3; mettent en évidence que :
Cherchons les conséquences géométriques de ces identités. En différentiant les équations (3) on trouve :
cl ({iiatrc éfiualioas analogues. De là on tire :
2jhe"^'~ 2j ^\ — m lA — r) "' '*'
APPLICATIO.XH OÉOSÉTRIQl'ES. It
Ainsi on a :
c'est-à-dire que les lignes coordonnées forment un système orthogonal. En différentiant les relations (6) on obtient :
hi^v (A — ti) (X — r)
Donc l'identité (5) équivaut à la suivante :
et exprime que la droite, issue de M (a?, 3/, z)^ ayant pour coefficients de direction :
^uT^V ^^^^)V ^H^V
est située dans le plan tangent en M. Donc
Kn résumé, les identités (4) et (5) nous conduisent aux suivantes
donc les lignes coordonnées sont les lignes de courbure de la surface (p. 149).
§ 4. — Théorème de Joachimsthal
La recherche des lignes de courbure d'une surface dépend, comme nous l'avons vu, de l'intégration de l'équation :
YJdu + Y'dv Y' du + Q'dv Edu + Fdv "" ¥du + Gdv '
Nous allons étudier une proposition <[ui peut souvent faciliter cette intégration.
Théorème de JoachimsthaL — Si deux surfaces se coupent sous un angle constant en tous les points d\ine ligne (C) et si celle-ci est une ligne de courbure pour la première surface, elle est aussi une ligne de courbure pour la seconde.
En effet, soient :
M, un point de la courbe C ;
«, son abscisse curviligne ;
7=1 la torsion en ce point,
tj, et CJ4, les angles de la normale principale avec les normales aux deux surfaces menées par le point M.
Les hypothèses faites sur C se traduisent ainsi :
ï ch ~~ ^'
