CI — CT| = C

donc :

et la proposition est démontrée.

I^a réciproque est évidente : si deux surfaces ont une ligne de courbure commune, elles se coupent sous le même angle en tous les points de cette courbe.

Remarque. — Toute ligne plane est une ligne de courbure de son plan et toute ligne tracée sur une sphère est une ligne de courbure de cette sphère. Donc :

Si un plan ou une sphère coupe une surface sous un angle constant tout le long d'une ligne, celle-ci est une ligne de courbure de la surface.

Nous verrons à Tinstant une application de cette proposition.

§5. — Théorètne sur les lignes de courbure sphériques

Soit donnée une surface S. Supposons que les lignes de courbure de la première famille soient situées sur des sphères ayant pour centre le môme point O. Proposons-nous d'étudier la nature des lignes de courbure de la deuxième famille.

Prenons pour lignes coordonnées les lignes de courbure de la surface Dans ces conditions (p. 149), on a :

c'est-à-dire :

ou ' 00