DF DF
Supposons, enfin, la surface définie par:
F (a?, y, ^) = o ; on voit aisément que le plan tangent au point [x,y,z) est défini par :
2 3. — Enveloppe d'une famille de surfaces à un paramètre
Considérons les surfaces à un paramètre {a)
A chaque surface S de paramètre (a) faisons correspondre une courbe déterminée r située sur la surface et définie par
Le lieu de la courbe T, quand a varie, est une surface E. Peut-on disposer de la fonction (p de manière que la surface S' soit tangente à E en chaque point de F ? ...
Les coordonnées d*un point quelconque de E peuvent aisément être exprimées au moyen de deux variables indépendantes a et < ; il suffît, en effet, de remplacer dans fi) v par sa valeur (2j,
Les lignes coordonnées de la surface E, obtenues en supposant
sont les courbes F.
Considérons la courbe F correspondant à une valeur a du paramètre. Le plan tangent à la surface E en un point quelconque M de F est défini par la tangente MT à la courbe F et par la tangente MT' à la deuxième ligne coordonnée passant par le point M.
Pour que la surface S soit tangente en M à la surface E, il faut et il suffit que la droite MT' soit tangente & S. Les coefficients de direction de MT' sont :
^ ^ i ^ ^ ^ Dy ^^ !.?£
"bv da <)a
dv ()a da
Dv ()a da
La condition précédente peut donc être formulée ainsi :
"èv Da "'" da ^ M ^a
du
iplifiant :
7)z da
du
du
d^ du
dt?
do
d^ dr
d£ dj^^d£
On voit donc que le problème est possible et que la fonction v cherchée est définie par l'équation (3).
La courbe F, correspondante une surface S, est appelée la caracté" ristigue de cette surface. La surface E est appelée la surface enveloppe de la surface variable S.
Remarque L — Supposons la famille de surfaces définie par :
c*est-à-dire par les trois équations :
r équation (3) devient alors:
DF
La caractéristique d*une surface S de paramètre (a) est alors définie par:
Oa
La surface enveloppe E est le lieu de ces courbes F. On obtient son équatioo cartésienne en éliminant {a) entre les deux équations (F). Mais ce calcul n*est pas avantageux ; en général, il est préférable de résoudre les équations (F) par rapport à a?, y.
a? = cp (^, a), y =^ (^, à).
La surface E est alors définie par :
IL — Les équations:
de la caractéristique mettent en évidence une propriété géométrique importante de cette courbe.
Considérons la surface S» z = F {x, y, a), et la surface voisine Sa+A ^ = F {;c, y, a + A);
ces deux surfaces se coupent suivant une courbe F' qui a pour limite F, lorsque h tend vers zéro.
IIL — Les caractéristiques F ont une enveloppe. En effet, pour que la famille de courbes
aient une enveloppe, il faut et il suffit que les quatre équations :
va ùa
soient, quel que soit (a), résolubles par rapport à a?, y, z. Cette condition
est évidemment réalisée si G = t- •
oa
L'enveloppe des caractéristiques est définie par les trois équations :
