IC

Cette équation montre que les fonctions x^ y, z de n et v sont liées par une équation de la forme :

P^ + '/y + rz ^ o,

/), ry, 7% étant uniquement des fonctions de i\ Donc :

I,es lignes de paramètre (v) sont des courbes planes. Le plan de cha- <!une d'elles passe par le point 0.

Soit M un point quelconque d'une ligne de paramètre (r). La tangente MU, la normale MW à la surface, et le rayon recteur OM sont dans le j)lan perpendiculaire à MV. Donc le plan OMU, (jui est le plan de la <'ourbe considérée, est normal en M à la surface S. Ainsi, le plan d'une ligne» de paramètre (r) est normal k la surface S en tous les points de cette ligne. On peut dire que les lignes de paramètre v sont des lignes géodési([ues de la surface (V. p. 30). Nous arrivons donc à celte proposition :

Théor^.me. — « Lorsque, sur une surface S, les lignes de courbure « d'une famille sont situées sur des sphères ayant pour centre le même « point O, les lignes de courbure de la seconde famille sont situées dans « des plans passant par l'origine. Chacun de ces plans est normal à la *' surface S tout le long de la ligne de courbure qu'elle contient ; en « d'autres termes, les lignes de courbure planes de la surface sont pour « celle-ci des lignes géodésiques. »

S 0. — Classe partie h Hère fie sm* faces (Je Monye

Les théorèmes précédents vont nous permettre de déterminer une solution nouvelle du problème suivant, résolu par Monge (V. AppUcalions (l'Analyse et de Géométrie^ p. 246).

Problkme. — Trouver les surfaces dont les normales sont tangentes, à une sphère donnée 2 de centre O et de rayon a.

Concevons une surface S satisfaisant à la question, et soit MWlanor-

maie en un point quelconque M de cette surface. Cherchons d abord la nature des lignes de courbure de S, qui se croisent au point M \fig, 40^.

Fio. 40.

Le plan OMW coupe la sphère suivant un grand cercle (c) langent en P à la droite MW. Il est clair que le triangle OMP reste constant, si le point M se meut sur la surface de manière que :