OM = C

la sphère de centre O et de rayon OM coupe donc la surface S suivant un angle constant tout le long d'une ligne (C). Donc, en vertu du théorème de Joachimsthal (V. Rem.^ p. 163), la ligne C est une ligne de courbure. D'autre part, le théorème que nous venons de démontrer au sujet des lignes de courbure sphériques prouve que la section (F) de la surface S par le plan OMW est la seconde ligne de courbure de S qui passe par le point M. Les normales à la courbe F étant normales à la surface (!5 5), il en résulte que F est une développante du cercle (ci.

Ceci posé, soit A le sommet de la développante, et soit (T i le cône décrit par la droite OA quand F coïncide successivement avec toutes les lignes de courbure planes de la surface S; je dis que le plan de la courbe F est constamment normal au cône T. En effet, la tangente AD au lieu géométrique du point A est perpendiculaire à la tangente A A' au cercle (c), puiscjue celle-ci est normale à la surface S au point A ; d'autre part, AB est perpendiculaire au rayon OA, donc elle est perpendiculaire au plan OMW. Donc, enfin, le plan OMW est normal au cône T suivant la génératrice OA, ce que nous voulions démontrer.

Ces remarques vont nous conduire à une génération simple de la surface S.

Considérons la figure invariable formée par le cercle (r*i, la courbe V et la droite OA. Supposons que la droite OA décrive le cône T et que le plan de la courbe F reste constamment normal au cône T ; dans ces conditions, la courbe F décrit la surface S.

Réciproquement, quelque soit le cône T, décrit par la droite OA, la surface engendrée par la courbe F est une surface S saiisfaisant à la question. En effet, soit m la projection d'un point M de F sur la droite OA. Dans le mouvement de la figure plane, la droite Mm reste constamment normale au cône T ; d'autre part :

donc la trajectoire du point M est orthogonale à Mm (formule (I) relative à la variation d*un segment). D'autre part, cette trajectoire est évidemment orthogonale à OM ; donc, enfin, elle est orthogonale au plan de la courbe F et en particulier à la tangente M P. Celle-ci étant normale à deux courbes de la surface se croisant en M est normale à la surface, et la proposition est démontrée.

Équations générales de la surface S, — Soient :

les équations du cône T, sous la forme que nous choisissons ordinairement. Rappelons que a, p, y, sont des fonctions de r, telles que :

Dans ces conditions, les cosinus directeurs de la normale en un point quelconque (1, rj delà direclrice du cône soni :

Soit OW cette direction. Les équations de la développante F dans le plan AOW sont :

,wv \ ; = a{cost + t sini),

^ 1 TQ -^ zh rt i sm / — / cos /j,

quand on prend pour axe des $ la droite OA et pour axe des r^ la direction OW.

Pour trouver les équations de la surface S, il suffit de projeter le contour 0/>iM sur les trois axes, ce qui donne :

X = a5 + (?t' - rp'j -n,

Y = p; + (y*' — ay) ir|, Z = y? + (a?' - pa') tj.

On obtient ainsi les expressions de coordonnées a?, y, z, en fonction de deux variables t et v.

§ 7. — Remarques relatives au cas où les variables indépendantes

sont X et y

Lorsqu*une surface est défiDÎe par réquation :

on peut lui appliquer toutes les formules établies ; il suffit, en effet, de supposer :

M = ar, V = y.

Proposons-nous de calculer les six fonctions E, F, G, E', F', G'. D'abord :

ds* = e/^* 4" ^^l/* + {P^^ + Q^y)^)^ où :

donc:

E=i+pV F = pq, G = l+^^

D 'autre part, les cosinus directeurs a, b^ c, de la normale sont : — p , '~~q 1

""^ + \/i+P^ + q^' "" + Vi + P* + ^^' "" "" + VI + 1>^ + î^'

Donc, si on pose :

on a:

+ y/^ + P^ + q^ +>Ji + P^ + q^ + Vi+P' + ?*'