THÉORÈME DE JACOBI

Sj 1. — Equation différentielle des litjnes (jéodésiqiies

Une ligne F, tracée sur une surface S, est dite une ligne géodésique de celte surface, si, en chaque point, on a, en conservant les notations des leçons précédentes,

sinny

Pour que la ligne F soit ligne géodésique, il faut donc et il suffit que la ligne F soit une ligne droite ou bien qu'en chacun de ses points le plan osculateur soit normal à la surface. On voit qu'en chaque point d\ine ligne géodésique curviligne la normale principale coïncide avec la normale à la surface. Cherchons à déterminer toutes les lignes géodésiques de la surface.

On a vu (p. 136) qu'en chaque point d'une ligne F de la surface on a :

/i\ sincj r- /,. dv ,T ^^"\

avec:

donc, pour que la ligne F soit une ligne géodésique, il faut et il suffît

que Ton ait en chaqne point :

as as

/4\ ^.^ ^ ^ cis ds^

dv d^tf ds ds^

'\dsj ^ • ds ds^^ \dsj \ds/ ^ ds ds^ \ds/

du ds dv ds

Cette équation a une propriété remarquable : elle ne change pas de forme si on change la variable indépendante. Si, en effet, on pose :

l'équation (4 ; prend la forme :

,,.v du d'iv do d'^tf ^'^^ di "d^ '~ 'di "df^

En particulier si : cotte équation devient

v/'~V4- 2v'— --4- v''?-\' - ^ \dl) ^ ^^ dt dt^ ^ \dt) dt

t -z tr

dia

Telle est l'équation différentielle des lignes géodésiques. Elle montre que ces lignes forment une famille à deux paramètres (a, h) :

Application. — Étant données les équations :

d'une surface S, avec la condition :

^ ~ Zjhi ^v — ^'

ÉQUATIONS DIFFÉREiSTIELLKS DES LIGNES GÉODÉSIQUES 171

trouver la condition nécessaire et suffisante pour que les lignes coordonnées de paramètre (v) soient des lignes géodésiques.

11 suffit de chercher à quelle condition l'équation (5) est vérifiée pour

V rr:- COnSt., U = <b{t).

Or, on voit immédiatement que la condition cherchée est :

mais les équations qui déterminent jjlv sont ici (p. 123) et :

donc la condition précédente équivaut à :

^=ro, ou: E^^'^iu),

Systèine particulier de lignes^ noorchunées. — Supposons que sur une surface S on connaisse une famille de lignes géodési(|ues à un paramètre (a) :

ainsi ((ue les courbes (p. 115) :

quiles coupent orthogonalement. Ces dernières sont dites lespnraUèles correspondant à la famille de gé()dési([uos considérée. Prenons pour nouvelles coordonnées des points de la surface les quantités ?/, et i\

définies par :

?/i = ^(ii, V) ri — ^(M, r).

Il est clair (jue le réseau des nouvelles lignes coordonnées se compose de géodésiques et des parallèles correspondants. Le [ds-) de la surface prend alors la forme :

Faisons encore le changement :

qui n altère évî déminent pas les lignes coordonnées; le (c^^^i prend alors la forme simple :

(hi r-: fha + cVr> 5* ^- G II, V\

Dans beaucoup de questions relatives à la surface donnée, il y a avantage à employer le système de coordonnées que nous venons de définir.

§ 2. — Cas où s €^t fa variable ùulé pendante

Cherchons les équations :

If :tp s c^. ^> ,

(l'une ligne géodésique, en supposant que la variable indépendante est l'abscisse curviligne s d'un point quelconque delà courbe. Exprimons, à cet effet, que la normale principale de la courbe est normale à la surface, ce rpii donne :

iJe/,^2 ,V - **•

Kn transformant les premiers membres, comme nous l'avons fait déjà (p. i35\ on V4)it (pie les équations précédentes peuvent s écrire :

KM + FN -z o FM + GN ^^ o ;

y\ en résulte que les fonctions /^ v) cherchées sont définies par les équations :

ds^ ^ \ds) ^ ^^ ds ds ^ " \ds) - ^' auxquelles il faut adjoindre la suivante :

Nous allons appliquer ces formules à un cas particulier.

ÉQUATIONS DIl^^FÉRENTIKLLES DES LIGNES GEODÉSIQUES 173

§3. — Lignes géodéalques d\ine surface de récoluUon

Nous choisirons pour coordonnées (/^ v) d'un poinl colles qui ont été définies plus haut (p. 107); alors :

il en résulte pour les couples [m^ n) les valeurs suivantes (p. 123) :

ni r^ 0,

„ dr m — r --' au

dr du

el, par suite :

rx : - o,

, 1 (fr r du

Le syslènio précédent (§ 2) donne alors :

, , d'iu dr /dvY

'*'^ 'd^-^'lhA'ds) ^-^^'

/-) (^^r 2 dr du dv

^"' ds^ "^ r du ' ds * ds "" ^''

fê)'+-(i)'-~'-

I/équalion (:2) donne :

„ f/-r , ^ dr du dv ds^ ^ du ds ds '

c'est-à-dire :

d / , dv\

ds V' Ifs) = ^»

et, par suite,

a éUnt une constante. L'équation 1 3 ; donne alors :

fê)' + ^ = '■

relu , r* ,

■ = ds =z — dv.

Donc, enlin, lequation des lignes géodésiques est :

Remarque. — L'équation :

a une interprétation géométrique fort simple. Soit MT la tangente en un point M d une ligne géodésique et :

Les projections du segment ds sur MU et MV sont (p. 106) respectivement du et rdv\ donc :

du = ds cos oi, rdv —^ ds sin w ;

l'équation (3) exprime donc que :

« En chaque point d'une géodésique d'une surface de révolution, le « produit du rayon du parallèle et du sinus de Tinclinaison de la géode- « sicjue sur le méridien est constant. »

§4. — Forme donnée par Lagvange aux équations différentielles

des lignes géodésiques

Cherchons comme au § 2 les équations :

d'une ligne géodésiciue en supposant que la variable indépendante est labscisse curviligne .s d'un point quelconque de la courbe. En exprimant ({ue la normale principale en un point de la courbe (i)est la normale à la surface, on trouve :

^^) S ^•5^1=° S ife •?; = «• (3)

Au lieu d'appliquer les formules de Gauss à la transformation de ces équations, comme nous Tavons déjà fait, nous allons employer un artifice dû à Lagrange. On a évidemment :

(fs^ ^n cfs \(fs ^uj (l^ (Is \^n/ ou, en employant la notation de Lagrange,

Ceci posé, considérons pour un instant :

comme une fonction de quatre variables indépendantes //,v, «', v' ; dans ces conditions :

donc :

,, :>x il / , ^x\ , ^x*

ca (h \ eu) en

Posons maintenant :

2T = x"^ + y^ + z^ = Eii^ + 2FtiV + GvX

Si on considère T comme fonction de rpiatre variables indépendantes

w, », u\ v'j on peut écrire :

el, par suite, 1 équation ('2) peut s'écrire :

Kii résumé, les fondions cherchées sont définies par h»» éi|iia(ions

V D«' ) 7^u ds Vr'/ c^y

Remarque I. — Le calcul précédent indique un moyen rapide de calculer les quantités ?«, n de Gauss. On a en effet (p. 172) identiquement

Remarque II. — On vérifiera comme plus haut (p. 170) que 1 équation

ds VcV/

définit les lignes géodésîques, qujlle que soit la variable indépendante s.

§5. — Congruences de normales. Théorème de Mahfs et Dupin

Nous allons étudier quelques propriétés dos congruences de normal(»s, qui sont fort utiles dans la théorie des lignes géodésiques. PnoRLÈME. — Soit donnée la congruence définie par :

X — .r 4- ap, Y ~ y + 6p, Z — >s: 4- ^P'

où a\y, 2^,a,ô, c sont dos fonctions de doux variables ?' el r, toiles cpie

déterminer les conditions nécessaires et suffisantes pour que ces droites soient normales à une même surface.

A chaque droite D de la congruencc faisons correspondre un point déterminé M, la loi de correspondance étant définie par :

Le lieu des points M est une surface S définie par les équations (1), où f est supposée remplacée par sa valeur (p (w, v). Le problème proposé nous conduit à cet autre : déterminer op de manière que les droites D soient normales à S. Les équations de ce dernier problème sont évidemment :

On peut les condenser en écrivant :

(2) ' "^adX = 0.

Or:

rfX = cte -f- adp + pda;

donc Téquation (2) devient :

Hada -}- û?p = o.

Pour que les droites D soient normales à une même surface, il faut donc et il suffit que la forme {adx-\-bdi/'{-cdz) à deux variables u et v soit une différentielle exacte d^ :

adœ -|- bdy -f* crf^ = ^®-

Si cette condition est vérifiée, les droites D sont normales à une famille de surfaces parallèles, à savoir les surfaces (i), où :

p = — + Or

Théorème de Malus et Dupin, — « Pour que les droites d'une congruence « soient normales à une même surface, il faut et il suffit que les plans a focaux correspondant à une droite quelconque de la congruence soient « rectangulaires. »

Nous avons déjà vu (p. 149) que la condition est nécessaire; démontrons qu'elle est suffisante. A cet effet, coupons la congruence par une

APPLIGAnOIfS OiOMÉTHlQUBS. 12

surface S quelconque et prenons pour lignes coordonnées de S les traces des développables de la congruence. Soient alors :

x=zf[u,v), y=g(u,v),

les équations de S. Désignons par {a, b^ c) les cosinus directeurs de la droite D qui passe par le point M (u, v)\ il résulte du choix des lignes coordonnées que Ton a (p. 12) identi<ia<nK*nt :

Ceci posé, les plans focaux passant par D sont les plans passant par D et les tangentes MU, MV, aux lignes coordonnées. Admettons que ces plans soient rectangulaires quelle que soit la droite I). Nous allons voir que les droites D sont normales à une môme surface.

En effet, considérons la droite MN qui a pour coefficients de direction :

De.

Dm'

cette droite est perpendiculaire à D, car :

'^ci , ,'^b , ^c Du ' Dm Dm

d'autre part, elle est située dans le plan focal DMU en vertu de Tidentité (1); donc elle est perpendiculaire au plan DMV et en particulier à la droite MV. Ainsi on a :

(3) On démontre que :

Dm Dw

VI ^a Do;

^^ Dr Dm

Les relations (3) et (4) peuvent s'écrire :

Dm \2j^ Dî?/ DÏ5 \2j^ Dm/

DuDv

Posons :

Les relations (3') et (4') donnent alors :

^v Du '

donc la forme [adx -{- brfi/ -{- cdz) est nne différentielle exacte, et les droites D sont normales à une même surface.

CoROLLAinB. — Les tangentes aux géodésiques d'une famille à un paramètre sont normales à une même surface.

En effet, soient : V une géodésique de la famille considérée etMT une de ses tangentes. La théorie des congruences (p. 40) montre immédiatement que les plans focaux relatifs à MT sont, d'une part, le plan tangent à la surface an point M et le plan osculateur de la courbe r au même point M. Or, ces deux plans sont rectangulaires; donc les tangentes MT sont normales à une même surface. Nous allons montrer une application de celte proposition.

§6. — Sur /"aces dont les normales sont tangentes

à une surface donnée S

Proposons -nous de déterminer une surface S dont les normales soient tangentes à la surface donnée S. Ce problème peut évidemment être énoncé ainsi :

Déterminer une congruence (E) de droites tangentes à la surface S et normales à une autre surface S [non donnée). Trouver les équations de cette dernière.

Pour résoudre cette question, prenons pour inconnues les courbes F tracées sur S, dont les tangentes appartiennent à la congruence cherchée E. Ces courbes T forment une famille à un paramètre (p. 114), et la première partie du problème sera résolue, si on sait déterminer cette famille. Démontrons d'abord que :

Les courbes F sont des géodésiques de la surface S. — En effet, les plans focaux relatifs à une tangente quelconque MT d'une courbe F sont rectangulaires, en vertu du théorème de Malus et Dupin ; mais ces plans sont, d'une part, le plan tangent en M à la surface S, et, d'autre part, le plan osculateur à la courbe F au même point M ; donc ce plan osculateur est normal à la surface S, et la ligne F est une géodésique.

On a vu que réciproquement les tangentes aux géodésiques d*une famille à un paramètre sont normales à une même surface. Donc toute congruence E satisfaisant à la question se compose des tangentes d'une famille de géodésiques à un paramètre. On voit que cette solution nécessite la détermination des lignes géodésiques de la surface S.

Cherchons maintenant la surface 2 qui correspond à une congruence (E). A cet effet, prenons pour lignes coordonnées de la surface S, d'une part, les lignes géodésiques dont les tangentes constituent la congruence (E)et, d'autre part, les parallèles correspondants. Dans ces conditions, le (ds^) de la surface peut être mis sous la forme (p. 171) :

ds^ = du^ + p»rfî?>, p« = G (m, v).

Les cosinus directeurs d'une droite de la congruence sont *

^u ou ou

et on a Tidentité :

adx + bdy + cdz = du ;

donc (§ 5) il y a une infinité de surfaces ]2, correspondant à la congruence E ; ce sont les surfaces parallèles définies par :

OÙ K désigne une constante 'quelconque. Remarquons que pour cha* cune de ces surfaces les lignes de paramètre {v) sont des lignes de courbure.

Si on applique la méthode précédente à la recherche des surfaces S, dont les normales sont tangentes à une sphère donnée, on retrouvera la solution déjà obtenue par un autre procédé (p. 165).

§7. — Autre méthode pour obtenir les lignes géodésiques

Nous venons de voir que :

1** A toute congruence de droites tangentes à S et normales à uns

autre surface correspond une famille déterminée de géodésiques à un paramètre, à savoir les géodésiques dont les tangentes appartiennent à la congruence ;

2* A toute famille de géodésiques à un paramètre correspond une congruence de droites normales à une surface, à savoir la congruence formée par les tangentes à ces géodésiques.

Donc, si on peut déterminer directement les congruences de droites tangentes à S et normales à une autre surface, on saura déterminer sel lignes géodésiques de S.

Nous allons développer cette méthode.

Soient :

les équations de la surface S, et :

X = ^(ti, v), fx = 'Ku, r), EX» + 2FXu + Gjx* == 1,

celles qui définissent (p. 115) la congruence cherchée. Pour déterminer X et fA, nous appliquerons la condition trouvée au § 3 de ce chapitre. A cet effet, considérons la droite de la congruence qui passe par le point M (tt, v) de la surface S. Les cosinus directeurs a, 6, c, de cette droite sont donnés par :

donc la forme {adx -j- ^^y + ^^^) » pour expression :

adx + bdy + cdz = (EX + F|x) du + (FX + Gjx) dv.

Les équations qui déterminent X et (x sontdonc, en vertu du théorème rappelé :

(1) Iex + f,* = |^,

(2) FX + G(A = -^,

(3,1 f EX» + 2FXa + Ga* = i .

Ces équations montrent que 6 doit satisfaire à Téquation :

c'esl-à-dîre :