IV. — Si la famille de surfaces est définie par
il est clair que la caractéristique d'une surface de paramètre (a) est définie par :
L'enveloppe des caractéristiques est alors représentée par :
Nous verrons dans le chapitre suivant des applications de cette théorie générale.
§ 4. — Enveloppe (Tune famille de surfaces à deux paramètres
Considérons les surfaces à deux paramètres a, 6, définies par :
A chaque surface Sab de paramètres (a, b) faisons correspondre un point déterminé MaA, situé sur la surface :
(2) u = cp(a, 6), v = ^{a,b).
Le lieu de ces points Mab^ quand a et b varient, est une surface E. Peut-on déterminer la correspondance, c'est-à-dire les fonctions <p et ij/, de manière que la surface Sab soit tangente à la surface E au point M^^ ?
Les coordonnées â?, y, z d'un point quelconque de la surface E peuvent aisément être exprimées au moyen de deux variables indépendantes a et b] il suffit de porter les valeurs (2) dans les équations (1).
Pour trouver les fonctions cp et ^ satisfaisant à la question, exprimons
que le plan tangent à Sai, au point M^^ contient les tangentes aux lignes coordonnées de E, qui passent par le point Mat-
Les coefficients de direction de ces deux tangentes sont respectivement :
du da ' Di? Da "' ^a Du M ^ ^v da ' ^a ' du da ' ^^^ ^'^ *" ^^
d.2r do dr dÔ ' d6
dïi' d6 + dïi* dô "^ dî' du dô "^ "^^ ^'^ "^ ^'''
dî? da dz d»)'
da
dud^» "^ dt? d^'^dô
Les équations cîierchées sont donc :
dor da
dz
da
da?
du
du
d£ du
do?
dî?
du
dl?
d* dô
du
d^ du.
dz
du
dp
do
Ces équations déterminent, en général, plusieurs valeurs pour les fonctions (p et ij/. Les points M^^, correspondant à une surface S^a, sont appelés les points caractéristiques. La surface E, lieu de ces points caractéristiques, est dite Tenveloppe des surfaces Sab-
Il peut arriver, dans des cas exceptionnels, que le lieu des points Ma* ne soit pas une surface, mais une courbe C ; dans ce cas, la surface Sa^ est tangente à la courbe C au point Ma6.
En effet, lé calcul précédent exprime que le plan tangent à la surface Sab au point M^a contient la tangente à la courbe C menée par ce point.
Remarque I. — Supposons la famille des surfaces définie par :
En appliquant le résultat précédent, on voit que les points caractéristiques sont définis par:
dF
da
dF
L'équation cartésienne de Tenveloppe E peut être obtenue en éliminant a et ^ entre ces équations. Mais il est, en général, beaucoup plus avantageux de définir la surface E au moyen des trois équations :
obtenues en résolvant par rapport kx^ y, z les équations précédentes, Si la famille est définie par:
on voit immédiatement par ce qui précède que les points caractéristiques sont donnés par :
ca où
II. — Les points caractéristiques d'une surface Sai, de la famille :
F (^, y, ^, û, à) = o, sont les points communs aux deux courbes :
La première est la courbe caractéristique de S^^ quand (a) varie seule; la deuxième est la courbe caractéristique de Sah quand b varie seule.
Appliquons celte théorie à un exemple particulier.
§ 5. — Enveloppe de sphères
Soit:
(1) (X - ar)« + (Y - yf + (Z - --)» = R»,
Téquation d'une sphère S, dépendant des deux paramètres u et », de sorte que :
(2) a? = /-(M, r), yz=g[u,v), z — h^u.v),
Soit S la surface définie par (2) ; on voit qu'à chaque point M (t/, v) de la surface S correspond une sphère déterminée S. Cherchons les points caractéristiques de cette sphère.
D'après ce qui précède, ces points sont définis par Téquation (1) et
les deux suivantes :
Dr
Dt?
Dr
Donc les points cherchés sont à Tintersection de la sphère S et de la droite D définie par les équations (4) et (5). Cette droite D est perpendiculaire au plan tangent n, mené par le point M à la surface 2.
La sphère S a donc deux points caractéristiques P^ et Pg, symétriques par rapport au plan n.
Proposons-nous de déterminer la fonction 6 («, v) de manière que ces deux points P^ et Pj soient confondus.
A cet effet, exprimons que les coordonnées (X, Y, Z) d'un quelconque des deux points P^ , P^ satisfaisant à Téquation du plan II :
du
Iz ?u
Dp
La fonction Ô [u^ v) est déterminée par Téquation obtenue en éliminant X, Y, Z entre les équations (1), (4), (5), :6). Pour effectuer cette élimination simplement, il suffit d'élever au carré le déterminant (6J, ce qui donne :
du
OU bien :
Dw Dr '' Dw Dr Dm D»?
« = m + iïï + (I)
Dw Dr """ \Dr/
