CONGRUENCES, — COMPLEXES

§ 1. — Surfaces gauches, — Plan tangent

Soient :

(1) X = 0? -f- ^"> Y = y + ^'^i Z = z + CM,

les équations d*une droite D, et supposons que les coefficients œ^ y, z^ a, 6, c, soient des fonctions données d'une variable v :

(3) a = A (»)» ^ = ffi (^)? ' c = Al {v).

Le lieu de la droite D, quand v varie, est ce qu'on appelle une surface réglée ; les diverses positions de la droite D sont les génératrices de

Fio. 6.

cette surface. — La courbe F représentée par les .équations (2) est 4il6 une directrice de la surface. — Le point M d'une génératrice située sur la directrice est dit le pied de la génératrice {fig, 6), — Enfin, le cône

engendré par la parallèle Od à la génératrice MD est appelé le cône directeur de la surface. Ce cône a pour sommet le point O et pour directrice la courbe définie par les équations (3).

Il peut arriver que les génératrices soient toutes tangentes à une courbe E ; dans ce cas, la surface est dite développable ; pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit (Y. première partie, chap. ii, § 1) que Ton ait:

abc

Les lettres accentuées désignent des dérivées, prises par rapport à v.

Une surface réglée non développable est dite une surface gauche.

Cherchons l'équation du plan tangent en un point quelconque A (u, v) d'une surface gauche, définie par les équations (1). En appliquant une équation établie au chapitre précédent, on trouve :

■ X — au -y-a'u