II. Les racines de l'équation

sont, d'après la formule de Moivre,

Ces racines se représentent géométriquement {/iij. 2) par

les sommets d'un triangle équi-

latéral, inscrit dans un cercle de rayon 1, ayant l'origine pour centre. La figure montre qu'à la racine x, correspond l'ai^ument -^'' l'équation considérée est donc l'expression analytique du problème de la trisection de l'angle.

Si l'équation

-{COSO

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DUPLICATION DU CUBE Eï TRISECTION DIL L ANGLE 30

était réductible, l'une au moins de ses racines devrait pouvoir 6tre représentée par une fonction rationnelle de cos o et sin !p. Par suite sa valeur ne cliangerait pas on remplaçant ç par âi -Hf.

Mais, si on opère ce changement par une variation continue de l'angle ç, on voit que les racines x,, x^, xi se permutent circulairemenl.

Par conséquent nulle racine ne peut être représentée par une fonction rationnelle de cosw et de sin?. Donc l'équation proposée est irréductible, et, comme son degré n'est pas de la forme 2", elle n'est pas résoluble à l'aide de racines carrées en nombre fini. La trisection de l'angle ne peut donc se faire avec la rè^lp. et le compas.

Cette démonstration, de môme que le théorème général, n'est valable que si ? est un angle arbitraire; pour certaines valeurs particulières de ? la construction peut se trouver possible.

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