CHAPITRE ni

La division du cercle en parties égales.

1. La division du cercle en n parties égales a fait l'objet des recherches des anciens ; on sait depuis longtemps résoudre le problème lorsque n est égal à l'un des nombres 2*, 3, 5 ou à l'un de leurs multiples communs.

Dans ses Ùisquisitiones arilkmelicœ, Gauss a augmenté le nombre des entiers pour lesquels la solution est possible, en montrant que la division peut se faire pour tout nombre premier de la forme

et qu'elle est impiissible pour tous les autres nombres premiers et leurs puissances.

Si, dans Téquation (1), on donne à ji les valeurs et 1, on trouve pour p les valeurs 3 et 3, cas qui étaient déjà connus des géomètres anciens. Pour fi = 2, on trouve

;i = 2^'+l r= 17; ce cas a été complètement traité par Gauss.

Pour p = y, on trouve

p ^ 2» + 1 = 257, qui est un nombre premier; on sait donc construire le polygone régulier de 2o7 cotés.

II en est de même pour ^ =: i, car 2-' + 1 ^ &oo.il est un nombre premier.

Les valeurs 5, 6, 7 attribuées à [.i ne donnent pas de nombres premiers. Personne n'a encore examiné le cas de Il = 8; il ne faut pas s'en étonner. Il a fallu en effet de

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