Démontrons d'abord la proposition suivante

Lorsqu'un nombre premier est de la forme S"-!-!, on a nécessairement h = S^^.

Nous nous appuierons pour cela sur le théorème de Fermât :

Si p est un nombre jiremier, et a un entier non divisible par p, ees nombres vérifient la congruenee

ai>-i = ^l (mod.p)l'i

p — 1 n'est pas nécessairement le plus petit exposant qui, pour une valeur donnée de a, vérifie la congruence. Soit s ce moindre exposant; on démontre que * est un diviseur âe p — l ''*). Si en particulier * est égal à p — 1, on dit que a est une racine primitive de p ; remarquons en passant que pour cliaque nombre premier p il y a nécessairement une racine primitive. Nous ne ferons d'ailleurs usage de cette considération que plus tard.

Soient donc p un nombre premier tel que

(*) a ^ 6 (mod. p) s'énonce <i congru à b [module p] et signifie que la différence o — 6 est divisible par p. La. congruence ci^lessus signifie dono que a»^' — i est divisible par p. C'est l'énoncé du lliéorème de Fermât tel qu'on le donne dans les (ratlés élémentaires. On peut ajouter, soustraire, multiplier, diviser membre à membre des congraences de même module, élever au carré les deux membres d'une congruence.

On pourra consulter à ce sujet les Leçons d'Arithmétique de M. Tannerv, p. 454 et suivantes, do H. Humhert, p. i 62 et suivantes. J. G.

(■*) Soient q et )* le quotient et le reste de la division de p ~ 1 par s, de sorte que

donc a''-' ~ a"i.a'.

Comme, par hjpothèse,

a' =^ + 1 (mod. p).

on a aussi a"' ^ +\. (mod. p),

et par suite o)—^~"''=a''^-¥i {mod. p).

Or r esl inférieur îi j; et s est pnr liypothése le pUis petit entier vérifiant In congruence

a' ^ + 1 (mod. p].

Donc r = 0, et ;> — 1 = sq.

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