Arrivons maintenant à notre proposition fondamentale

p étant un nombre premier, la division du cercle en p parties égales, au moyen de la règle et du compas, est impossible si p n'est pas de la forme

Posons z = x-hiy', traçons dans le plan de la variable s un cercle de rayon 1. Diviser ce cercle en n parties égales revient à résoudre l'équation binôme E" — I = 0.

Cette équation admet la racine s = 1 ; supprimons-la en divisant par z — 1, ce qui revient, géométriquement, â ne pas considérer le point de départ de la division. 11 reste alors à résoudre l'équation

jn-l , jn-a + . . . ^ 3 j i = 0, que nous appellerons l'équation de division.

Or, quand n est égal à un nombre premier p, celte équation est irréductible (nous allons le démontrer ciaprÈs) ; elle ne peut donc être résolue à l'aide de radicaux carrés en nombre fini que lorsque son degré est une puissance de 2 (Chap. I, 13). II faut donc que n— 1 = p — i = 2\ ou bien

et par suite

On voit que les nombres premiers, signalés par Gauss, jouent un rôle tout particulier.

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