DU CERCLE EN PABTIKS ÉGALES

6. Reste donc à faire voir que l'équation <Ju division est irréductible.

Lemme de Gauss.

Lorsqu'un polynôme rationnel et entier, à coefficients entiers ['),peul être décomposa en un produit de deux fadeurs rationnels, les coefficients de ces fadeurs sont aussi des nombres entiiirs.

Soit

F(3) = z'" -h \z'"-' -+• Bz"' ^-+--- -4-^-1- M

ce polynôme ; A, B, C, . . ., M sonf des nombres enfiers. Par hypothèse ce polynôme peut se mettre sous la forme

(1) F(.)=/ti).ç(.)=(i-'+.,=— '+-)(=--+?,r'"'+-). Il s'agit de faire voir que les eoeificients i; et P; sont des nombres entiers.

Supposons qu'ils soient fractionnaires. Réduisons dans chaque facteur tous les coellicients au même dénominateur ; soient a, et 60 ces dénominateurs communs. Multiplions ensuite les deux membres de notre égalité par «A ; elle prend la forme

MoF(3) = /;(s)?.(î)=(«,:'"'+«i.-™'-'+'--)(ii,J"'"-i-/A;"'"-'+-)- Les coefficients a sont des nombres premiers entre eux et de même les b, puisque par hypothèse a,, et ùa sont les plus petits communs dénominateurs.

Supposons Oo et b„ différents de l'unité, et soit q un diviseur premier de atjba. Soient de plus a; le premier coefficient de fi{z) et Ôa le premier coeflicient de !i|{ï), non divisibles par ç. Développons le produit f,{z)'s,(z) et cherchons le coefficient de z"''-*"""-'-''. Ce sera

D'après nos hypothèses, tous les termes à partir du second

(*) Ayant l'unité pour coclïlcicnl de son ferme da plus liaut degré.

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sont divisibles par q ; le premier ne l'est pas ; donc ce coefficient n'est pas divisible par q. Or le coefficient de -ni'-i-m~-i-ft dans le premier membre est divisible par Uaha, c'est-k-dire par q. Donc si l'identité est vraie, il est impossible que dans chaque polynôme il existe un coefficient non divisible par q.

Les coefficients de l'un au moins des polynômes sont donc tous divisibles par q. C'est là une autre impossibilité, puisque nous avons vu que tous ces coefficienis sont premiers entre eux.

Donc on ne peut supposer «„ et //„ différents de 1 ; et par suite les coefficients a^ et Pf sont entiers .