L'équation de division est irréductible

Comme le coefficient de son premier terme est 6gal à l'unité, il suflit, d'après le lemme de Gauss, de montrer que son premier membre ne peut se décomposer en deux facteurs dont les coefficients soient entiers. Nous nous servirons à cet effet de la méthode d'Eisenstein [Journal de Crelle, 39, p. 67), qui consiste à faire la substitution

Il vient alors

Tous les coefficients du second membre, sauf le premier, sont divisibles par p ; le dernier coefficient est toujours égal à jt qui, par hypothèse, est un nombre premier. Une expression de ce genre est toujours irréductible. En effet, s'il n'en était pas ainsi, on aurait

ix'"' + biX'"'-^ H + lj,„-,x -i- b,„),

les coefficients a et les coefficients h étant des nombres entiers.

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DIVISION nu CERCLE EN PARTIES EGALES

Les tonnes indépendants de x devant être égaux, oni a,„b^- := p ; p étant un nombre premier, l'un des fadeurs du prcm membre doit être égal k i ; supposons donc que

alons ensuite les coefficients des termes en ^

Le premier membre et le second terme du second membre

sont divisibles par p ; il doit donc en être de même de

«ffl-É^m' ; comme b,„' — ± 1, a„^, est divisible par p.

Egalant ensuite les coefficients des termes en a;*, il vient

on on conclut que a,„5 est divisible par p.

On continuerait ainsi de proche en proche; le coefTicient du terme en a,'"" serait

avant d'arriver ù ce coefficient, on a démontré que «,„, ûm-i, ... «I sont divisibles par p ; on en conclut que a^ doit aussi être divisible par p, ce qui est impossible puisque 0(1 = 1.

L'égalité supposée est donc impossible, et par suite l'équation de division est irréductible, lorsque p est un nombre premier.