Cas où n aH é(jal à une puissance d'un nombre pre

Soit )i — j3^ ; nous allons montrer que si p est plus grand que 2, la division du cercle en p^ parties égales est impossible, Lo problème sera résolu par là même pour a >■ 2 ; car la division en 7^° parties égales comprend ôvidemmeni la division en p'^ parties égales.

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Ai l'IlEJLIKRE I'ABTEJ:

L'équation do division est ici

elle admet comme racines étrangères au problème celles qui conviennent à la division en p parties égales, c'est-à-dire les racines de l'équation

supprimons ces racines étrangères par division ; l'équation de division devient finalement

OU bien

3*'-" -4- sKJ-s) H j-;;' + 1 = 0.

La substitution s ■:= x -hi la transforme en

Le nombre des termes étant p, le terme indépendant de x, après développement, sera égal k p, et !a somme aura évidemment la forme

x{x) étant un polynôme entier à cocflicients entiers dont le terme indépendant vaut l. Or, nous venons do montrer que cette somme est en général irréductible. Par conséquent la nouvelle équation de division est aussi irréductible.

Le degré de cette éi^ualion est p{p — i). D'autre part une équation irréductible n'est résoluble par radicaux carrés que lorsque son degré est une puissance de 2 ; donc un cercle n'est divisible en p^ parties égales, avec îa règle et le compas, que lorsque p = 2 ; bien entendu on suppose que p est un nombre premier.

Il en est de même, nous l'avons déjà remarqué, pour la division en p' parties égales quand a> 2.

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