CHAPITRE IV

La construction du polygone régulier de 17 côtés.

1, Nous venons de voir que la division du cercle en parlies égales, au moyen de la règle et du compas, n'est possible que pour les nombres premiers signalés par Gauss. Il y a maintenant intérêt à savoir comment la construction peut réellement 6tre exécutée.

Ce chapitre aura pour objet l'exposition élémentaire de la méthode en s'attachant en particulier au cas du polygone régulier de 17 cotés.

11 n'existe pas encore de construction résultant de considérations purement géométriques ; nous sommes donc obligés de reprendre la voie indiquée par les considérations générales. D'après cela il nous faut considérer tout d'abord les racines de l'équation de division

x^^-l-x'^-j- .. .-hx'^-^x-hi —0, et construire géométriquement l'expression formée de radicaux carrés que nous en déduirons.

On sait que ces racines peuvent se mettre sous la forme

Ei =: cos -pr + î sm ~ {k = l, 2, . . ., IG); en posant

ïi — cos — -l-t sin ^,

il vient

Et — =î.

Géométriquement ces racines sont représentées dans le plan de la variable imaginaire par les sommets d'un polygone régulier de 17 côtés, inscrit dans un cercle de rayon 1 ayant l'origine pour centre, en laissant de côté le point

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origine de la division. Il est indifiérent de mettre en évidence la racine h plutôt qu'une autre ; ce n'est que pour la construction qu'il est nécessaire de préciser la question et d'indiquer quel e sert de point de départ.

Une fois e; déterminé, l'angle correspondant à ^/c est égal à k fois celui qui correspond à sj, ce qui détermine entièrement e^.

2. L'idée fondamentale de la solution est la suivante : En se servant d'une racine primUivn par rapport au module 17, on peut ranger les 16 racines de ['équation dam un ordre déterminé de manière à former un cycle.

Comme nous l'avons dit antérieurement, un nombre a est dit racine primitive par rapport à 17, lorsque la congruence

a' ^ -i- 1 (mod. 17)

a pour plus petite solution

Le nombre 3 possède cette propriété. On a en cflct

3=sr tO

(mod. 17).

Rangeons alors les 10 racines dans un ordre tel que leurs indices soient précisément égaux aux restes précédents :

(1) H, Es, ha, hu S3, Î13, Sii, s,(, £|i, e,, =■;. =i, =,;, t^, ^j, =,. Remarquons que si r est le reste do 3', on a = 17r/ + r,

donc

Si r' est le reste qui suit i

n a de même

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