POLYGONE RÉGULIER DE 17 COTÉS

Donc dans la suite des racines, chaque racine est le cube de la précédente.

La méthode de Gauss consiste à décomposer ce cycle en sommes contenant respectivement 8, 4, 2, 1 racines correspondant aux diviseurs du nombre 16. Chacune de ces sommes s'appelle une période ; les périodes ainsi obtenues peuvent se calculer successivement comme racines de certaines équations du second degré.

Le procédé que nous venons d'esquisser n'est qu'un cas particulier de celui qu'on emploie dans le cas général de la division en p parties égales. Les p — 1 racines de l'équation de division sont rangées cycliquement à l'aide d'une racine primitive de p; on en forme des périodes qui se calculent comme racines de certaines équations auxiliaires (*). Le degré de ces dernières dépend des facteurs premiers de p — j ; ce ne sont donc pas nécessairement des équations du 2" degré.

Le cas général a été traité en détail par Gauss dans ses « Disquisitiones », et aussi par Bachmann, dans son opuscule « Théorie de la division du cercle en parties égales » {Leipzig, 1872).

3. La formation des périodes se fait delà manière suivante. On forme deux périodes de 8 racines en prenant dans le cycle (1) les racines de rang pair, puis celles de rang impair. Désignons ces périodes par xi et x^; remplaçons pour abréger chaque racine par son indice, nous écrirons symboliquement

Opérons sur Xi et x^ de la même manière ; nous formerons 4 périodes à 4 termes :

(*) Voir la Trigonométrie deBrlot et Bouquet.— Propriùtfodas ratines de l'équation binôme. J. G.

Opérant enfin de même sur les y ; nous obtenons 8 périodes à 2 termes :

11 s'agit maintenant de montrer que ces diverses périodes peuvent se calculer ù l'aide de racines carrées.

4. Le simple aspect de ce dernier tableau montre que la somme des restes correspondant aux racines formant une période z est toujours égale à 17 {'), Ces racines sont donc £, et h-,~ r,

-2- . . 2jt

Toutes les périodes ; sont donc réelles, Il vient par suite

CI On peut te démontrer de l;i manière suivante :

Si on remonte des périodes s aux y, aux x, puis au cycle (1), cela revient i. insérer entre les deux racines qui forment un s successivement 1, S, S, 7 termes. Si donc une de ces racines correspond au reste r fourni par 3', l'autre correspondra îi un reste r' fourni par 3*+8. Donc

r + r'^ 3''-t-3''+» (mod. 17)^ 3'(t + 3') ss njt.

Cette somme est donc divisible par n, et comme r et »■' sont inférieurs à n il en résulte r + r" = il. J. G.

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I^E RECULIEil DE Ij COTÉS

Sjl = 2 COS 4 — ^.