COS
de connaître la grandeur relative des différentes périodes.
A cet effet nous emploierons l'artifice suivant. Divisons la moitié du cercle de rayon 1 en 17 parties égales {fig. 3), et désignons les distances du
. premier point de division aux suivants A,, A^, . . . . , An par
'*"""^" ' Sn élant égal au diamctro,
^' c'est-à-dire égal h. 2.
L'angle OA^A^ a même mesure que la moitié de l'arc
OAi, lequel vaut --
1 a donc
kr.
Pour que cette formule soit identique à 2 cos h faut que
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En donnant à k les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, (i, 7, 8, on Irouve pour k les valeurs
Donc
La iigure montre que S* croit avec l'indice ; donc l'ordre de grandeur croissante des périodes ï est
D'autre part la corde A^A*.,.,, sous-tend p divisions de la demi-circonférence et vaut Sp; le triangle OAn-'^k-hP montre alors que
et a fortiori
S,,-+,,<Sy,^,. + &,,+ ,.■-
Si on calcule alors les différences deux à deux des périodes y, on trouve aisément
y, — yi = S,3 + Si — Sg -H S„ > 0, ï/, — y, ^ S„-i-S, + ST + S„>0, y, — y, = S„ -h S, H- S„ — S, > 0, j/3 — j/3 ^ Sa — S„ + S, 4- S„ > 0,
)/s — )/4 = Se — S,i -(- S;, — Se < 0,
y, — ,/> ^: S.S,, — Su — S.<0.
Donc
Enfin on voit de même que
6. Nous nous proposons maintenant de calculer ïi = 2 cos ^- Ce calcul fait et cette quantité construite, il sera aisé d'en déduire le coté du polygone régulier de 17 côtés.
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poltgonï: régulier de 17 cotés 41
Associons z, à la période Zi qui forme avec elle la période yi ; on a d'abord
z,-^Zi = y,.
Cherchons maintenant à calculer s,S3, z,z, = (16-H-l)(13+4); dans ce calcul symbolique, le produit kp représente en réalité
par conséquent il doit se représenter symboliquement par
k~j- p, en ayant bien entendu soin de retrancher 17 de
k ■+- p chaque fois qu'on le peut. Il vient ainsi
Donc Si et z-> sont les racines de l'équation du 2' degré
d'où, puisque i, > z„
yi -I- ^yi — 4i/i 1/, — /yT^^i
11 faut donc connaître y, et y^. Pour cela associons à y, la période y^ qui forme avec elle la période x, et h 1/4 la période y, qui forme avec elle la période Xs.
On a d'abord j/i + 1/, = x,.
Puis
En effectuant ce produit suivant les règles du calculsymbolique, le second membre devient égal à la somme de toutes les racines, c'est-à-dire à — 1.
Donc y, et y^ sont les racines de l'équation
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42 PHEM1ȻE PARTIK
De même on a on vérifierait comme précédemment que
donc )/3 et 1/4 sont les racines de l'équation
[r,') if —x^y — i — 0,
d'où
X2 + ^xl + A
puisque y3<iyf
Reste enfin à calculer x, et x^. Or Xi-hx^ est égala la somme de toutes les racines, c'est-à-dire à — 1. En faisant le produit x,Xi d'après les règles du calcul symbolique, on trouve que ce produit contient 64 termes et qu'il est égal à 4 fois la somme de toutes les racines, c'est-ù-dire à. — ■i ; de sorte que x, et x^ sont racines de l'équation
Hv'lT
puisque a;, > x^.
En résolvant successivement les équations i, i;, r,\ ï,, z, se calcule bien par une suite de racines carrées.
En faisant ce calcul, on voit que z, dépend des quatre radicaux
i/ÏT, ^/xi-i-A , /ï[n , v^î/ï — 4;/i .
Si donc on veut mettre 3, sous la forme normale, il faut voir si l'un de ces radicaux ne s'exprime pas rationnellement en fonction des autres. Or
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POLYGONE HÉGL'LIKH DE 17 COTÉS A'i
En calculant symboliquement, on vérilio que
(î/i — y^Ky* — ?/3) = 2(a^i-J:'.).
i-'est-à-dire
Celte égalité montre que si des trois différences y, — y^. yi — ya, X| — Xi, deux sont positives, il en est iJe même de la troisième, ce qui est conforme aux résultats obtenus directement.
Remplaçons maintenant «,, i/,, y^ par leurs valeurs numériques ; on trouve successivement
--2fl7
-i+JlT
-a/iv-
y 6S-|-12/r7- ir.v/34-H2v^— 2(l—/Ï7)\/34-2v/rf
La partie algébrique de notre problème est donc terminée. Nous avons déjà fait la remarque qu'on ne connaît pas de construction du polygone régulier de 17 côtés déduite de considérations purement géométriques ; il s'agit donc maintenant de construire nos expressions algébriques, c'est-à-dire les racines de nos équations du second degré .
7. Qu'il me soit permis d'intercaler ici une digression historique sur les constructions avec la règle et le compas.
Dans la géométrie des Anciens, l'usage de la règle et du compas est toujours simultané ; l'art consiste à rapprocher les différentes parties de la figure de telle manière qu'on n'ait il dessiner aucune ligne inutile. Il est indifférent que
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44 PUEMIKRK r'AHÏlE
les constructions successives se fassent avec la règle ou le compas.
Par contre, en 1797, l'Italien Mascheroni a fait la tentative, couronnée de succès, d'exécuter toutes les constructions avec le compas seul ; il a exposé ses procédés dans sa Il Geometria dd compasso » , et prétend que les constructions au compas sont plus exactes que celles avec la règle. Ainsi qu'il le dit expressément, il écrit^ pour les arts mécaniques ; il a donc toujours un but pratique devant les yeux. L'ouvrage original de Mascheroni est difïicile à lire, et nous devons remercier M. Hutt d'en avoir donné un petit résumé en allemand « Les Comtructium de Masclu'roni » {Halle, 1880).
Bientôt après, les géomètres français, en particulier les disciples de Carnot, l'auteur de la Géométrie de position, ont essayé inversement d'exécuter toutes les constructions autant que possible avec la règle (Voir aussi Lambert, Perspective libre, 1774).
Ici se pose une question, à laquelle l'Algèbre permet de répondre immédiatement : Dans quel cas la solution d'un problème d'Algèbre peut- elle se construire avec la règle seule ? Les auteurs cités n'ont pas donné de réponse bien catégorique. Nous dirons :
La règle permet de construire toutes les expressions algébriques dont lafofme est rationnelle.
Dans le même ordre d'idées, Brianchon publia en 1818 un petit écrit « Les applications de la théorie des transversales • dans lequel il montra que dans beaucoup de cas on peut se tirer d'affaire avec la règle seule. Il insiste de son côté sur la valeur pratique de ses méthodes, qui sont destinées à faciliter les opérations du géomètre-topographe.
C'est Poncelet qui, le premier, dans son ci Traité des propriétés projectives » (Vol. l, 331-357) a émis cette idée qu'il suffit de tracer dans le plan un seul cercle fixe pour pouvoir construire à l'aide de la règle toutes les
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DK 17 COTÉS ij
expressions dépendant de radicaux carrés. Il faut connaiire d'ailleurs le centre de ce cercle.
Cette idée a été développée par Steiner {1883} dans un écrit célèbre, intitulé : Lp.s constructions géomêtriijues exécutées à l'aide de la règle et d'un cercle fixe.
8. Pour effectuer la construction du polygone régulier de 17 eûtes, nous suivrons la méthode indiquée par von Staudt (Journal de Crelle, T. 2-1, 1842), modifiée plus tard par Schrœler (Journal de Creile, T. 73, 1872). La construction du polygone de 17 cùtés y est faite selon les règles indiquées par Poncelet e! Steiner; on s"y sert de la règle et d'un cercle fixe.
Montrons d'abord comment, à l'aide de ia règle et d'un cercle fixe, dont le rayon est égal à l'unité, on peut construire les racines d'une équation du second degré,
x' — px + g = 0, dont les racines sont xi et a:^ (*).
Menons {/îj. -4) un diamètre AB du cercle fixe et les tangentes à ses deux extrémités ; adoptons sur ces tangentes une direction positive. Portons sur la tangente supérieure un segment AD me-
KjL. i sure par ^i sur la
tangente inférieure un segment QC mesuré par — ; joignons C et D, et marquons les points M, et Ma où la droite CD rencontre le cercle ; menons enfin les droites AM, et AM, qui rencontrent la tangente inférieure en Xi et Xi ; les deux segments BX7, BXs ont pour mesures Xi et Xî.
C) On ne fait aucune liypotlièse sur le signe des v.ieines.
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Kii elTet, supposons que
M, = 37, , BXj = 37, ,
La tangente en B peut èire considérée comme la ligure inverse du cercle 0, le centre d'inversion étant A et la puissance d'inversion AB . Donc
AM,.ÀX, =^ AM5.ÂX5 = Âb'\ ce qui prouve que les quatre points M,, M^, X,, Xj sont sur un même cercle. 11 en résulte
ex, . CXs = CM, . GMî = œ'
