CHAPITRE V

Généralités sur les constructions d'expressions algébriques.

1. Nous allons miirntenant laisser de cùlé les constructions avec la règle et le compas. Avant de quitter ce sujet, mentionnons une méthode nouvelle et très simple, pour effectuer certaines constructions : le pliage du papier. M. Hermann Wiener a montré comment, en pliant convenablement un papier, on peut obtenir le réseau des polyèdres réguliers ('). Un fait singulier, c'est que, vers la même époque, un mathématicien hindou, Sundara Row, de Madras, a fait paraître un petit écrit sur le même sujet, " On paper folding » (sur le pliage du papier). La même idée y est développée d'une façon plus étendue ; l'auteur montre, par exemple, comment, en pliant convenablement un papier, on peut construire par points des lignes courbes telles que l'ellipse, la cissolde, etc. (Londres, Macmillanl893).

2. Cherchons maintenant comment on peut résoudre géométriquement les problèmes dont la forme analytique est une équation du 3' degré ou de degré supérieur, et voyons en particulier comment les géomètres anciens y sont parvenus.

L'idée la plus naturelle est de recourir aux coniques ; les anciens s'en sont beaucoup servis ; ils ont trouvé en particulier que l'emploi de ces courbes permettait de résoudre

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le proljlème de la duplication du cube et rie la trisection de l'angle.

Voici, en quelques mots, comment on peut résoudre graphiquement l'équation du 3° degré

x' + ax^ -H ^a: H- c = 0, ou réquatioii du 4^ degré

x' + ax'' -+- bx^ -h (.-a: + rf = 0.

Posons x^ ~ y; nos équations deviennent

xy + ay

et y^ -4- axy -+- hij -t ex + d = 0.

Los racines des équations proposées sont donc les abscisses des points communs à deux coniques.

L'équation x^ = y représente une parabole dont l'axe est dirigé suivant Oi/. La seconde équation

xy + ay -\- dx -h c = représente (fiy. 11) une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axes de coordonnées. L'un des quatre points d'intersection est à Tinfini sur l'axe des y, les trois autres sont à distance finie, et leurs abscisses sont les racines rie l'équation du 3' degré.

Dans îe 2^ cas, la parahole est la même. L'hyperbole {fig. 12) a toujours une asymptote parallèle à Oa:, tandis que l'aulre n'est plus perpendiculaire à Oa:; les courbes ont maintenant quatre points d'intersection k distance finie.