CONSTRUCTION
ALGÉBHIODES. CÉNKRALITÉS 55
On trouvera l'exposition détaillée des procédés des géomètres anciens dans le grand ouvrage de M. Maurice Cantor : Histoire des Mathématiques ( Leipzig 1894, 2' édition). Gomma ouvrages intéressants sur le même sujet, on peut encore citer : Les coniques dans Vantiquitii, par Zeuthen (Copenhague 1886); la Géométrie anabj tique ie Baîtzer l'Lcipzig 188â).
3. Outre li>s coniques, les anciens utilisèrent aussi des courbes de degré supérieur, qui furent d'ailleurs précisément inventées à l'occasion des problèmes qui nous occupent. Nous ne parlerons ici que de la cissoïde et de k concho'ide.
La cissoïde de Diodes (150 ans av. J,-G.) se construit de la manière suivante. On donne {fig. 13) un cercle, un diamètre OA et la tangente en A. Une sécante menée par rencontre le cercle en B et la tangente en G; on porte sur cette sécante, à partir de 0, une longueur OM = BC. Le lieu géométrique de M, quand on fait tourner la vjg. r.{ sécante autour de 0, eslhi cissoïde.
Formons son équation, en prenant pour axes des x et des y le diamètre OA et la tangente en 0. Posons OM = r, MOa; = 0, et prenons pour unité de longueur le diamètre du cercle. 11 vient alors
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D'où, en remarquant que
X = r cos 0, y = r sin 0,
on dérJuit l'équation
La courbe est donc du 3' ordre ; elle possède un point de rebroussement h, l'origine, et admet l'axe des x comme axe de symétrie. La tangente en A est asymptote à la courbé, laquelle passe en outre par les points cycliques.
Pour résoudre à l'aide de cette courbe le problème de Délos, écrivons son équation sous la forme
On voit alors que la cissoïde peut être engendrée par l'intersection des deux droites variables
La première passe par l'origine et intercepte sur la tangente en A la longueur ). ; la seconde passe par le point A{a:= 1 , y = 0) et intercepte sur l'axe des y la longueur V'.
De là une construction simple de î/ï. On prend sur Oy une longueur OD = -1-2; on mène AD qui coupe la cissoïde au seul point réel P ; on mène enfin DP qui détermine sur la tangente en A la longueur
AQ = Î/ÔD = 5/2.
4. La conchoid'i de Nicomède (environ 150 ans av. J -C.) s'obtient de la manière suivante.
Soit [fil/. 14) un point fixe, et « sa distance à une droite fixe D. Faisons tourner autour du point un rayon mobile ; à partir du point P, où il rencontre la droite, por-
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