CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES. CÉNÉHAUTÉS

tons sur lui dans les deux sens une même longueur è ; le lieu des extrémités de CCS longueurs est la conchoïde.

Selon que li est supérieur ou inférieur à a., elle admet à l'origine un point double ou un point isolé; pour 6 = a, c'est un point de rcbroussenient.

De celte construction on déduit très simplement l'équation de la ligne en prenant pour axes des ce et des y la perpendiculaire et la parallèle menées par à la droite D.

Posant 0Q=;)', on a

d'oii (a'^ -f-j/^)(a: — a)- — ÔV- =- 0.

La conchoïde est donc du qualrièmc ordre, possède un point double à l'origine, se compose de deux branches ayant pour asymptote commune la droite x = a. En outre on voit que la courbe passe par les points cycliques, fait important pour la suite des raisonnements.

Voici comment cette courbe, supposée construite, permet d'effectuer la trisection d'un angle quelconque.

Soit o = MOy l'angle à diviser en trois parties égales. Prenons sur le côté OM une longueur OM = b, menons par M la parallèle à Oi/ ; construisons enfin la conchoïde

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ayant comme point double, la parallèle comme asymptote et caractérisée par la longueur b.

Cela fait, décrivons de M comme centre un cercle de rayon b ; la figure montre évidemment qu'il rencontre !a conchoïde en unpoint A. situé à l'intérieur de l'angle MOy. On démontre sans dilIieuUc aucune que

An^ = iMÔ^.

Nos recherches précédentes nous ont appris que le problème de la trisection de l'angle est un problème du 3' degré; il admet les trois solutions

Toute construction géométrique qui résout ce problème à l'aide d'une courbe de degré supérieur, doit fournir naturellement toutes les solutions, sans quoi l'équation du problème ne serait pas irréductible.

Ces solutions i-ésultent en effet de notre figure. Le cercle et la conchoïde se coupent en 8 points ('). Deux d'entre eux sont confondus à l'origine, deux autres avec les points cycliques; aucun d'eux ne peut fournir une solution du problème. Restent donc quatre points d'intersection, de sorte qu'il semble y avoir une solution de trop. Cela tient à ce que, parmi les 4 points, se trouve nécessairement le point B, tel que

0MB = 25, point qu'on peut construire sans le secours de la courbe. 11 ne reste donc plus que trois points qui correspondent aux trois racines fournies par la solution algébrique.