LES NOMBRES TRANSCENDANTS ET LA QOADRATURE DU CERCLE

CHAPITUI-] I

Existence des nombres transcendants.

Démonstration de M. Cantor.

1. Représentons comme de coulumo les nombres par les points d'un axe des abscisses. Si nous nous bornons aux nombres rationnels, les points correspondants rempliront l'axe des abscisses avec une « densité parfaite », c'està-dire que dans un intervalle, si petit qu'il soit, il y a une infinité de tels points. Néanmoins, comme les géomètres anciens l'avaient déjà reconnu, l'ensemble continu des points de l'axe n'est pas épuisé de cette manière; les nombres irrationnels s'introduisent entre les nombres rationnels, et la question se pose si, parmi les nombres irrationnels, il ne faut pas encore faire certaines différences.

Définissons d'abord ce qu'on entend par nombres al()ébviques. On appelle ainsi toute racine d'une équation algébrique

ttuiu" -|-ai(u"-'+ ■■■ H- a„i(o -i-û„ = 0,

dont les coefficients sont des nombres entiers, premiers entre eus. Bien entendu il n'est question que de racines réelles.

Les nombres rationnels en sont un cas particulier comme

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racines des équations de la forme

Les nombres algébriques réels forment-ils un ensemble continu, ou bien une suite discontinue, telle qu'on puisse insérer d'autres nombres dans ses intervalles? Ces nouveaux nombres, les nombres transcendants, seraient alors caractérisés par cette propriélé de ne pouvoir être racines d'une équation algébrique entière à coeflieients entiers.

Cette question a d'abord été résolue par Liouville (Comptes Rendus 1844, et Journal de Liouville, V.16, 1831) ; il a en effet démontré l'existence de nombres transcendants. Mais sa démonstration, qui s'appuie sur la théorie des fractions continues, est assez compliquée. La question devient beaucoup plus simple lorsqu'on se place au point de vue développé par M. Georges Cantor dans un mémoire d'une importance capitale : Sur une propriélé de Vensemble des nombres algébriques réels (Journal de Crelle, t. 77, 1873). Nous allons exposer sa démonstration, en utilisant une idée un peu plus simple, que M. Cantor, sous une forme différente il est vrai, avait signalée à l'assemblée des i Naturforscher » à Halle en 1891.

2. La démonstration repose sur cette propriété que les nombres algébriques forment un ensemble énumérable, tandis qu'il en est autrement des nombres transcendants. M. Cantor veut dire par là qu'on peut ranger les premiers dans un certain ordre, tel que chacun d'eux occupe une place déterminée, numérotée pour ainsi dire. Cette proposition peut aussi s'énoncer de la manière suivante :

On peut établir une correspondance umvoque entre la multiplicité des nombres algébriques réels et la multiplicité des nombres entiers positifs.

11 semble qu'il y ait là une impossibililé. Les nombres entiers positifs ne forment qu'une partie des nombres

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EXISTKKCL DIlS NUMBiiES THANSCENLIA.NTS (l'A

algébriques réels; puisqu'à chaque nombre du premier ensemble on peut faire correspondre un nombre et un seul du second, la partie serait donc égale au tout. Cetle objection repose sur une analogie inexacte. Le théorème qui dit que la partie est plus petite que le tout, n'est plus valable quand il s'agit de grandeurs en nombre infini. Il est bien évident par exemple qu'on peut établir une correspondance univoque entre les nombres entiers positifs et les nombres pairs positifs, il suilit d'écrire

Quand il s'agit de quantités infinies, les mots grand et jy^til ne sont pas bien à leur place.

M. Cantor a proposé de les caractériser par leur puissance : Deux collections infinies ont même puissance , lorsqu'on peut établir entre leurs éléments une correspondance univoque.

Le théorème que nous avons à démonirur prend alors la forme suivante :

^.'ensemble des nombres algébriques réels a même puissance que l'ensemble des nombres entiei-s positifs.

On obtient l'ensemble des nombres algébriques réels en cherchant les racines de toutes les équations algébriques de la forme

a^vi" -+- Kicu"-' + . . . -H a„,ti> -f- a„ = 0.

Tous les a sont supposés premiers entre eux, bj, est positif et l'équation est irréductible.

Afin de ranger les nombres ainsi obtenus dans un certain ordre, nous considérons leur hauteur N, qui est représentée par

N = n-1-+- |a„| + ja, 1 + ... + Kl; I Ci 1 représente la valeur absolue de a,. A un nombre donné N correspond un nombre fini d'équations algébriques. En effet, N étant donné, ie nombre n a certainement une limite supérieure, puisque N est égal à n — 1, aug-

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mente de nombres positifs ; en outre la différence N — (h — 1) est une somme de nombres positifs premiers entre eux, dont le nombre est évidemment fini.

H|I°=||1«i|| Kqaation

Racines

', ,»! zt 3 =

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EXrSTE.NCK DES NOMliRES TRANSCENDANTS 63

Parmi ces équations, il faut écarter celles qui sont réductibles, ce qui n'offre théoriquemenl aucune difficulté.

Le nombre des équations correspondant à une valeur donnée de N étant limité, il ne correspond à cette valeur qu'un nombre limité de nombres algébriques. Nous désignerons ce nombre par tf(N). Le tableau ci-contre contient le calcul de (f(l), <i(2), f[3), o(4) et des nombres :•> qui leur correspondent.

Rangeons maintenant ces nombres algébriques suivant leur hauteur N, en ordonnant les nombres qui correspondent à une même valeur de N suivant leur grandeur croissante. Nous aurons ainsi tous les nombres algébriques, chacun d'eux à une place déterminée. C'est ce qui a été fait dans ie tableau précédent.

Notre proposition est donc démontrée.

3. Voici maintenant la proposition générale que nous avons en vue :

Si on considère une portion de l'axe des x, aussi petite que l'on veut, il s'y trouve une infinité de points qui n'appartiennent certainement pas à un ensemble énumérable donné.

En d'autres termes :

L'ensemble continu des valeurs numériques représentées par les points de l'axe des x contenus dans une portion de cet axe., si petite qu'elle soit., a une puissance plus grande que celle d'un ensemble énumérable donné.

Cela revient visiblement à affirmer l'existence des nombres transcendants ; il suffit de prendre comme ensemble énumérable celui des nombres algébriques.

Pour démontrer ce théorème, dressons le tableau des nombres algébriques, comme précédemment, et écrivons-y tous les nombres sous forme dénombres décimaux; aucun d'eux ne sera terminé par une suite indéfinie de 9; car l'égalité

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66 llliLXlKME PAHTIK

montre qu'un tel nombre est un nombre décimal exact.

Si maintenant nous pouvions construire un nombre décimal qui ne soit pas terminé par une suite indélinie de 9, et qui ne se trouve pas dans notre table, ce serait certainement un nombre transcendant. Un procédé très simple, indiqué par M, G. Canfor, permet de trouver non seulement un tel nombre, mais une infinité, même si les limites entre lesquelles doit se trouver le nombre sont extrêmement rapprochées. Supposons, par exemple, que les cinq premières décimales du nombre soient données [*). Le procédé de M. Cantor est alors le suivant.

On prend pour 6' décimale un nombre différent de 9 et de la 6= décimale du premier nombre algébrique; ])our 1' décimale, un nombre différent de 9 et de la 7" décimale du second nombre algébrique, etc. De cette manière, on obtient une Traction décimale indéfinie, qui ne sera pas terminée par une suite indéfinie de 9, et qui certainement n'est pas contenue dans notre table, La proposition est donc démontrée.

On voit aussi par là (si on veut bien nous permettre celle expression) qu'il y a beaucoup plus de nombres transcendants que de nombres algébriques. En effet, quand on détermine les décimales inconnues, on peut choisir, en évitant les 9. huit nombres différents; on forme ainsi des nombres transcendants au nombre de a:", mémo quand ils doivent être compris onlro des limites aussi rapprochées que l'on veut.

(■) C'est-h-dire (jue les limites entre lesqaulles iloit rtrc comijris le nombre diffèrent de ---; ■

CIIAIMTRK II

Coup d'œil historique sur les tentatives de calcul et de construction de -r.

Nous allons faire voir que le nombre ~ apparlienl ;l la classe des nombres transcendants dont l'existence a élé démontrée dans le chapiire précédent. La preuve rigoureuse en a été fournie par Lindemann en 1882; il a ainsi résolu dérmitivement un problème qui a préoccupé les mathématiciens depuis quatre mille ans (aussi loin que peut remonter l'histoire) ; c'est celui de la quadrature du cercle.

En effet, si it n'est pas un nombre algébrique, il est impossible de le construire avec la règle et le compas; la quadrature du cercle est donc impossible au sens où l'entendaient les anciens. Il est intéressant de suivre les tentatives faites en vue de la solution de ce problème aux différentes époques de la science, de voir comme on a toujours essayé de nouvelles constructions avec la règle et le compas, comment enfin ces elforts nécessairement infructueux ont exercé l'influence la plus féconde sur les branches les plus diverses des Mathématiques.

Les éléments de la petite revue historique que nous allons faire sont empruntés à un ouvrage très recommandable de M. Rudio : t Archimède, Huygens, Lambert, Lcgendre. Quatre mémoires sur ta mesure du cercle « (Leipzig 1892), Ce livre contient la traduction allemande des recherches des auteurs nommés ci-dessus. Quoique le mode d'exposition s'éloigne beaucoup des idées modernes dont nous allons faire usage, on y trouvera néanmoins des particularités intéressantes, dont on pourra tirer une ntililé pratique au point de vue de l'enseignement.

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b» DEUXIEME PARTIE

i. Dans les tentatives faites pour déterminer le rapport du diamètre à la circonférence, on peut d'abord distinguer Vépoque empirique, dans laquelle on cherche à arriver au but par mesure ou estimation directe.

Le document mathématique le plus ancien qui existe, le « Papyrus Hkind •> (environ 2000 ans avant J.-C), énonce déjà le problème sous sa forme bien connue : construire un carré équivalent à un cercle donné. L'auteur du papyrus, Ahmès, donne la règle suivante : on retranche d'un diamètre une quantité égale à son neuvième ; on construit un carré ayant pour côté la partie restante ; il est équivalent au cercle. On obtient ainsi pour ^ une valeur pas trop erronée,

liien moins exacte est la valeur t. ~ 3, que l'on trouve dans la Bible {i" Livre des Rois, 7, 23 ; 2' livre de la Chronique, 4, 2,)

2. Les Grecs, Archimède en particulier, s'élevèrent audessus de ce point de vue empirique. Dans son livre K-MvXo-j usTfiiia'.;», ce dernier géomètre calcule ia surface du cercle au moyen de celle des polygones inscrits et circonscrits, comme on le fait encore aujourd'hui dans l'enseignement élémentaire. Sa méthode resta en usage jusqu'à l'invention du calcul différentiel ; elle fut particulièrement développée et rendue pratique par Huygens (mort en 1634), dans son ouvrage <> de magniludine circuli inventa i.

De même que la duplication du cube et la trisection de l'angle, les géomètres grecs cherchèrent à effectuer la quadrature dn cercle au moyen de courbes de degré supérieur.

Considérons par exemple la courbe y — arc sin x.

Elle se présente sous la forme d'une sinussoïde ;i axe vertical. Géométriquement, -^ se présente comme une or-

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