DEUXIÈME PARTIE
dune 1 equalion du la quadratrice est
Elle rencontre l'axe des x en un point dont i'abscissc e X = lini — '■ — — pour )/ = ;
donc
D'après cette formule, le rayon dn cercle est la moyenne proportionnelle entre la longueur du quadrant et l'abscisse du point d'intersection de la quadratrtce avec Taxe des x. On peut donc se servir de cette courbe à la fois pour la rectification et la quadrature du cercle. Remarquons d'ailleurs que cela revient simplement à formuler le problème de la rectification sous forme géométrique, aussi longtemps qu'on n'aura pas construit un appareil permettant de décrire la courbe d'un trait conlinu.
l.a ligure lU donnu une idée de la forme de la courbe, ivec les branches qu'on obtient en considérant les valeurs le * supérieures à ir ou inférieures à — ■^. Evidemment
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uiSTOHiQUK iiKS r.SïAis mz i.;au:u]. et dk cnNSïHixTio.N i>e tt / 1
la quadratrice <Je Dinostralc n'est pas aussi commode que la courbe
y = arc sin x ;
mais il ne semble pas que cette dernière ait été utilisée par les géomètres anciens.
3. La période de 1670-1770, caractérisée par les noms de Leibniz, Newton, Euler, est celle de la naissance de l'analyse moderne. Les grandes découvertes se succèdent de près en une suite ininterrompue, et naturellement l'étroite rigueur est quelque peu rejetée à l'a rri ère-plan. Pour notre point fie vue, c'est le développement de la théorie des séries qui est particulièrement important. Un grand nombre de valeurs approchées de n en ont été déduites ; qu'il nous suffise de citer la srrie de Leibniz (coimue d'ailleurs avant lui} ;
Dans cette même période se place la découverte de la dépendance des nombres e et t.. Le nombre «, les logaritbmes naturels et par suite la fonction exponentielle sont mentionnés d'abord dans les ouvrages de l'Anglais Napier (Neper 1614).
Ce nombre ne semblait d'abord avoir aucun rapport avec les fonctions circulaires et le nombre -t:. jusqu'à ce qu'Euler eût le courage de considérer des exposants imaginaires ; il arriva de cette manière à la célèbre formule
e'-' ^ cos x+ i sin a^, qui, pour x = t.,sc réduit à
Cette formule est certainement une des plus remarquables qu'il y ait en Mathématiques. C'est à elle que se rattachent les démonstrations modernes de la transcen-
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72 DKUMKiaE PARTIE
danee de tt ; elles commencent par montrer la transcendance du nombre e.
4. Après 1770 l'esprit critique reprit ses droits. Cette même année parut le livre de Lambert : Connaissances préliminaires pour ceux qui cherchent la quadrature du cercU. Il y traite entre autres de Tirrationnalité du nombre x.
En 1794 Legendre démontra définitivement dans ses éléments de Géométrie que tt et -n:^ sont des nombres irrationnels,
5. Ce n'est que cent ans plus tard que commencent les recherches modernes.
Le point de départ a été le Mémoire de M. Hermite « Sur la fonction exponentielle >> (Comptes Rendus 1873, publié en 1874). Il y démontre la transcendance du nombre e.
Une démonstration analogue pour k, se rattachant étroitement à celle de M. Hermite, a été donnée par M. Lindemann (Mathematische Annalen, 20. 1H82. Voir aussi les Comptes Rendus des académies de Berlin et de Paris).
La question était donc entièrement élucidée pour la première fois ; mais les considérations de MM. Hermite et Lindemann étaient encore très compliquées.
La première simplification a été indiquée par M. Weierstrass dans les « Berliner Berichte » de 1885. Tous les travaux cités précédemment ont été réunis par Eachmann dans son livre : Leçons sur ta nature des nombres irrationnels, 1892.
Au printemps de J893 se produisirent de nouvelles et très grandes simplifications. En première ligne il faut citer les mémoires de M. Hilbert dans les « Gœttinger Nachrichten». l'ourtant sa démonstration n'est pas encore absolument élémentaire ; il y reste encore une trace des idées do M. Hermite sous la forme de l'intégrale
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HISTORIQIiï: DKS ESSAIS DE CALCUL ET DE CONSTE
Peu de temps après, MM. Ilurwitz et Gordan ont montré qu'on peut se passer de cette formule transcendante. (Gœttinger Kachrichten ; Comptes Rendus ; Math. Annalen, Vol. 43).
La démonstration a pris maintenant une forme tout à fait élémentaire et semble accessible à tout le monde. C'est à la marche suivie pat* M. Gordan que nous rattacherons notre exposé.
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ClIAFITlîl' III La transcendance du nombre e
\. Nous nous appuierons sur le développement en série bien connu de <?':
convergent pour toutes les valeurs de x.
Insistons, en passant, sur la différence entre la convergence théorique et la convergence pratique. Si on prend a; = 1000, il est laborieux de calculer e'""" au moyen de cette série. Elle est pourtant convergente théoriquement; on voit facilement qu'à partir du 1000" terme la factorielle n ! du dénominateur croîtplus rapidement que la puissance qui figure au numérateur. Cette circonstance, que — a pour limite zéro quand n devient infmi, est importante pour nos raisonnements ultérieurs.
2. Nous allons démontrer la proposition suivante : Le nombfp, c, n'/!st pas un nombre ali)ébrii)uc ; en d'aulres termes, ce nombre ne peut être racine d'une équation entière à coefficients entiers
l-ix) = C„ + C-c -H . . + Cx" = ; on peut toujours supposer que les coefTicients G; sont premiers entre eux.
Voici la marche de la démonstration. ?(ous supposerons qu'il existe un nombre entier n, et des entiers C,-, premiers entre eux, tels que l'on ait
F(^) =: Co + G,« 4- Cj''^ -1- . . . -+- C,,';" = U.
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LA THA>-SCEM)AfiCL IIL) NOMBRE ',' 7j
lin nuilliiilianl les doux membres [Kir un certain nombre M, il vient
MF(ej = MCo + MC,e + MC^i^ + . . 4- MC„';".
Nous montrerons qu'on peut choisir ce nombre M de manière à satisfaire aux condilions suivantes :
1" Chacun des produits Me, Ma* Mit" peut être
décomposé en une partie entière M^ et une partie fractionnaire Ea ,
L'idonlilé prend alors la forme
Ml-\(') ^ MCa + M,C, -h M,C, + . - - + M„C„
â" La partie entière
MCo ■+- MiC, + . . . + M„C„ n'est pas nulle. Cela résultera de ee fait que, divisée par un nombre premier, elle donne un reste différent de zéro.
3° LVx)ressioii
C,s, 4- C,s, -f- . . . -u- C„E„ peut être rendue aussi petite que l'on veut.
Ces conditions étant supposées remplies, l'idontilé supposée est évidemment impossible, puisque la somme dnn entier non nul cl d'une fraction proprement dite ne peut être égale à zéro.
3. Notre démonsirafion exiye l'emiiloi d'un certain symbole /C et d'un polynôme ti(x].
