I.e symbole II

If n'est autre chose que i ,^.'.i r = r'. ; par l'emploi

de ce symbole, on peut écrire

Il h - /("

Il n'a pas d'aulrc sîg}iificali<in ; il sert uniijucmeni à écrire sous une forme plus simple toute formule contonani des puissances et des factorielles.

Hosted by

(6 DEUXIEME TARTU:

Supposons doniiii un polynôme développé lous représentons par fijt) et nous écrivons sous la forme

Supposons que le polynôme f{xi ne soit pas développé. Calculer /"{/(), c'est développer ce polynôme par rapport aux puissances de /( et remplacer ensuite h'' par ri. C'est ainsi que

Le polynôme ç(a;).

Considérons le polynôme remarquable

p est un nombre premier, n le degré de l'équation algébrique à laquelle satisfait par hypothèse le nombre ''. Nous supposerons p supérieur à w et à |Co], et plus tard nous le ferons croître au-delà de toute limite.

On aura une image géométrique de ce polynôme en construisant la courbe

Aux points X = ^, 1, ..., n elle admet l'axe des x comme tangente d'inflexion, puisqu'elle le rencontre en un nombre impair de points, tandis qu'à l'origine, elle le touche sans inflexion. Pour les valeurs de x comprises entre et n, elle reste dans le voisinage de l'axe des x ; pour des valeurs plus grandes de x, elle s'en écarte indéfiniment.

Hosted by

lA TRANSCE[<DAKCE DU NOMBRE C 77

Propriétés du poUjnomu f(x).

I. X étant supposii donnent ji croissant au-delà de toute limite, •s(x) tend vers zéro, et de même la somme des valeurs absolues de sp.s termes.

Posons u = x{i—x) ...{n — x)\ on peut écrire

qui, pour p infini, tend évidemment vers 0.

Pour avoir la somme des valeurs absolues de o{x), il suffit de remplacer —a; par |3:| dans la forme non développée de ■^{x). La seconde partie de la proposition se démontre alors comme la première.

II. h étant un nombre entier, o(ft) est un nombre entier, non divisible par p, et par suite dînèrent de zéro.

Développons ■■^[x) par rapport aux puissances croissantes de X, en remarquant que les termes de degré le moins et le plus élevé sont respectivement de degré p — l et np-\-p — 1, On aura

,.^ti ' ?' — n ;( — 1! ~~ p —\\'

Donc

Abstraction faite du dénominateur f^^ ! qui figure dans tous les termes, les coefficients c^ sont des nombres entiers. Ce dénominateur disparait sitôt qu'on remplace }f par r\, puisque la factorielle de moindre degré est

/i'*-' — p — i ! , Tous les termes du développement, à partir du second, contiendront le facteur p. Quant au premier, il s'écrit

Hosted by

in DËUXIKME PARTIE

(i,s...»rp-ii ^

et n'est certainement pas divisible par le nombre premier p, puisque, par hypothèse, p est un nombre pins grand que n.

Donc

-Ab) = (»V (mod.rt,

et par suite =(/i) -6 0.

ç{A) est d'ailleurs un très grand nombre ; calculons son terme de degré le plus élevé ; c'est