Bêmontrons maintenant que l'identité

est impossible.

Multiplions les deux membres par '^{k); il vient o{h).F{e) = C,-f{h)^C,o{hy--^ H O^oi/Oe" = 0.

Cherchons ensuite à décomposer un terme quelconque C/,3(/*)e''' en un entier et une fraction. On a

Ayant égard au développement en série de e'% un terme quelconque de cette somme, abstraction faite du coefficient Cr, a la forme

A /. - jr IHA ^^ i!^ h'-.t^'

On doit y remplacer If par ri, ou, ce qui revient au mr^mo,

par l'une des quantités

rh'-', r:r—i)lv~', .... r{r — lj...:i.l,\ >■(,■— T.... 2. y* ;

si en mÉme temps on simplifie les fractions successives, il

vient

-1 {,. + iX'' + 2) '

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La première ligne a mémo forme que le développement *le (li-i- /il'; dans la parenthèse delà seconde ligne se trouve la série

le U^

Oh

{.■+lir

dont les termes sont respectivement inférieurs ù ceux de la série

La seconde ligne peut donc se représenter par une expression de la forme

qrk étant une fraction proprement dite.

Faisons la même décomposition pour chaque terme de la

elle prend la forme

r.*2 '^'■1'" =■ ^ <^r{h + ky + e''2 q,.,,c,-k-.

La première partie de cette somme n'est autre que if(/(-f- A-); c'est donc (propriété III) un nombre entier divisible par p. D'autre part (propriété I)

tend vers quand /) devient infini ; il en est donc de même a fortiori de

■ ••'•'^q,;kC,.k'' ~ S;,.

Le terme considéré Cifi'''^[h) est donc bien sous la forme d'un entier Gi,if(/i -\- k) et d'une quantité C^h qui, par un choix convenable de p, peut être rendue aussi petite qu'on le veut.

En procédant de même pour tous les termes, il vient

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J,A THANSCENDAKCE DU NOMBRE C 81

finalement

F(e)o{/0 = C,o[h] + C,-^{h ^ 1) -i- . . . + G„-o';/, + h) + C,£, +Cjs,-h...+G,.s„.

Il est maintenant facile d'achever la démonstration. Tous les nombres de la première ligne, à partir du second, sont divisibles par p; pour le premier le facteur Co est en valeur absolue inférieur à p; f{h) n'est pas divisible par p; donc Coo(A) n'est pas divisible par le nombre premier p. Par conséquent la somme des nombres de la première ligne n'est pas nulle.

Les nombres de la seconde ligne sont en nombre Uni; chacun d'eux peut être rendu plus petit que tout nombre donné par un choix convenable de p; il en est donc de même de leur somme.

Un nombre entier non nul et une fraction ne pouvant domier pour somme zéro, l'idontîté supposée est donc impossible.

La transcendance de e, ou encore le théorème dr. M. Hirmile est donc démontré.

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CHAPITRK IV La transcendance du ncmbre ^.

1. La démonstration de la transcendance du nombi'e i; est due à M. Lindemann. C'est une extension de celle donnée par M. Ilermite pour le nombre e.

Dans le chapitre précédent, on a montré que l(i nombre '■ ne pouvait vérifier une identité de la forme

Co + C,e + C,fl=-H...H-C„e" = 0.

M. Lindemann démonlre l'impossibilité d'une identité analogue; seulement, à la place des puissances e, e*, ... il introduit des sommes de la forme

Les nombres /.■,, />■;, . . , , k^ sont les racines d'une mémo équation algébrique, à coefiicients entiers du degré N; de même les nombres /,, k, ..,, /« sont les racines d'une équation de degré N', etc. Ces racines peuvent d'ailleurs être imaginaires.

Le théorème général de M. Lindemann peut donc s'énoncer sous la forme suivante :

Le nombre e ne peut vérifier une identité de la forme

(1) Co-}-C,(e*'-l-e*'H i-e''")+Cj(e''+e'"H \-e'''')^- ■■=(},

les coefficients Ci étant entiers, et les exposants d'une même parenthèse étant les racines réelles ou imaginaires d'une même équation algébrique à coefficients entiers.

Soit

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lNSCKn'dange du MJMBHE t

l'équation admettant pour racines les exposants i; ;

Èï^' + i,»:-''-' 4- ■■ + *„. = 0, celle qui admet pour racines les exposants /;. Ces équations ne sont pas nécessairement irréductibles, ni leurs premiers coefficients égaus a l'unité; les fonctions symétriques de leurs racines, qui seules se présenteront dans nos développements ultérieurs, ne sont donc pas nécessairement des nombres entiers.

Pour n'avoir que des nombres entiers, il suffira de considérer les fonctions symétriques des nombres al.;, nk,, .,., ((/.\, l>l„ l'h, ..., /'/:-■, etc.

On voit facilement que ces nombres sont racines des équations

y" -\- a,y''~' -+- «lai/""^ + ■ ■ ■ 4- a„a^~' =^ 0, y' + f'iW''' ■+■ l'J>\}'*'~^ + ■ ■ ■ + //«'('/"■"' = 0, etc. les fonctions sjTnétriques rationnelles des racines de ces équations sont évidemment des nombres entiers.

Cela posé, la marche de la démonstration est la même que pour le théorème de M. Hermite.

On suppose vraie l'identité (t); on multiplie ses deux membres par un même nombre M ; on décompose chaque somme telle que

en une partie entière et une fraction, telle que

M(e'''-i-e''>-t t-e*"^) ^ M, + îi,

iSotre identité devient alors

CoM-hC,M,-|-CîM,-i hC.B, + C2;i+--- =0.

On montrera, par un choix convenable de M, que la somme des nombres de la première ligne représente un

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84 DEUXIÈME PARTIi;

entier non divisible par un certain nombre premier p, et par suite différent de zéro; que la partie fractionnaire au contraire peut être rendue plus petite que tout nombre donné ; on tombe alors sur la même contradiction que précédemment.

2. Nous nous servirons encore du symbole h', et d'une certaine fonction 'l'(^)-

Le polynôme i(ar).

Ce polynôme est une généralisation du polynôme ^(.k) employé dans le chapitre précédent. On pose

x[(/i-3:)(^i-^:)...(/.'-a■)]"ft«^S''■''K^..

p est un nombre premier, supérieur en valeur absolue ,i chacun des nombres

Co, a, b, ..., a:., b^' ;

nous le ferons même croître indéfiniment. Quant aux facteurs ay^, /*«>, . , , , nous les avons introduits afin de trouver dans le développement (ie 'l{x) des fonctions symétriques des quantités.

ak, ak,, ..., nk^.

Idy, bk, ..., bl:,-.

c'est-à-dire des nombres rationnels et entiers. Plus loin nous aurons à développer les quantités

La présence des mêmes facteurs sera encore nécessaire, si on veut que les coefficients de ces développements aient pour numérateurs des nombres entiers.

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LA THA.NSCE.NDANCI! DU \OMRRf: ' 8a

Propriétés de la fonction <f{x).

I. '^{h) est un nombre entier, non divisible pai' p, et par suite différent de zrru.

En ordonnant ■}(/() par rapport aux puissances croissanles de /;, il vient

Dans ce développement tous leseoefllcicntsontpournumé-

rateurs des nombres entiers et pour dénominateur p — 11.

Le coefficient du premier terme hi^' s'écrit par exemple

— ■ (ak,.ak>. . .ak„Y.a'''"a^"''. .

X(ft/,.è/.... hl^')p.h''i'h''"P...

Si dans ce terme nous remplaçons h''~' par p — 1 !, le dénominateur disparaît. D'après les hypothèses faites sur le nombre premier p, aucun facteur de ce produit n'est divisible par p, et par suite il en est de même du produit .

Le second terme C^/i'' devient de même un nombre entier quand on remplace h'' par p 1 ; mais le facteur p se conserve, et il en sera de même pour tous les termes suivants. Donc la somme 4'(^) est un entier non divisible par p.

IL X ayant une valeur finie donnée, et p aurjnientanl indéfiniment, le polynôme

•i^[x) ^'^ cX

tend vers 0, de même que la somme des modules de ses termes. On a '!,{x)=^c^T'

"tÊtï!"-'»-'---''''--)!»'— )■■■!'■-')