DEUXIEME PARTIE

Désignons le crochet par K ; il vifiiil alors

et cette quantité tend évidemment vers i), qnand ^i croit indéliniment.

Ce raisonnement reste évidemment valable quand on remplace chaque terme de ^(a;) par son module.

m. L'expression ^ 'Li/s + h] est un numhra entinr

divisible par p.

On a

Xa<^-'l''[(A-, — /.; — /()...(- h) ... (/;^- — /,-., A;:/' Xa^'".6-->[(/.-/,; -h] (/^. /,-,,/,)>

Le i' facteur du crochet de la seconde ligne se réduit à — /( ; le terme de degré le moins élevé en h dans le développement est donc /(''. Par suite

d'où

^ il/s + /',:■= 2 ^'^■''''■

Les numérateurs des coeflicients C,'. sont des nombres rationnels et entiers; car ce sont des fonctions sj'mêtriquos entières des quantités

ah, ... ak^.

leur dénominateur e? t égal à (/i — 1)1.

Hosted by

LA TRA^scE^■DA^•CR du nombre tt «/

Remplaçons maintenant h' par '■!; le dénominateur disparait dans tous les coeflicients ; mais le facteur /» se conserve au numérateur; la somme est doue bien un nombre entier divisible par p.

11 en sera évidemment de même pour

Nous avons ainsi trois propriétés de o(x), analogues h celles démontrées pour a{x) h l'occasion du théorème de M. Hermite.

3. Revenons maintenant à la démonstration de notre théorème. Il s'agit de montrer que l'identité

(1) C(,+G,(e'''-i-'^''+--'+'?'^)+C,(c''+e''+----i-e'--'-)+--- = est impossible.

A cet effet, multiplions ses deux membres par >l{k) ; elle devient

+ Ci[e''.4'(/i)H ^«'"'.i-ih]]-^--- = (l.

Cherchons à décomposer chacune des parenthèses en un nombre entier et une fraction. L'opération sera un peu plus longue que précédemment, car k peut être une quantité complexe de la forme 1^ -+- il' ; soit | k \ son module <JW^li^.

On a

Le produit «*./<'' peut s"(ierirc, comme nous l'avons montré précédei

-4^-^tI^^]-

Hosted by