DEUXIÈME PARTIE
Les modules des termes de la série
sont respectivement inférieurs à ceux des termes de la série . , ' *■
Il en résulte
mod. h ■ ■ -H <; e"'',
ou bien
r+1 {r-^lp^r, "■'"■ '
q,,k étant une quantité complexe dont le module est inférieur à l'unité.
On peut donc écrire
<^Kii{U)=^c..eKbr='^c,.{h + kr^^c,.q„,.k'\e.\>^\ = ^[h + k) +^c,.qr.iM el''-|.
Affectons dans cette égalité /.■ successivement des indices 1, 2, . , . , N, et faisons la somme ; il vient
Procédons de même pour toutes les autres sommes ; le premier membre de notre identité prend alors la forme
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LA TRANSr.EMIA.NflË DU .\OMBRE t: Hv
D'après lapropriélé II, on peut rendre ^ | c,./;' | plus petit
que tout nombre donné, en choisissant p suflisaminent grand. Comme
mod. fj,.,i < 1,
il en sera a fortiori de même de et par suite aussi de
Gomme le nombre des coeflîcients C est limité, la somme qui figure dans la deuxième ligne de l'identité (2) peut être rendue aussi petite que l'on voudra.
Les nombres de !a première ligne sont, h partir du second, tous divisibles par p {Pr. III) ; le premier nombre Co'r'C') '1^ ''^^'' P^^ (f""- ^)- 1'^ somme des nombres de la première ligne n'est donc pas divisible par p, et par suite elle est différente de zéro. La somme d'un nombre entier et d'une fraction ne peut être nulle ; l'identité (2) est donc impossible et par suite aussi l'identité (1).
4. Voici maintenant une proposition plus générale que la précédente, maïs dont la démonstration est une conséquence immédiate de la première. Pour cette raison nous l'appellerons le
Corollaire de M. Lindemann.
Le nombrn t> ne peut vérifier une identité de. la formp,
dans laquelle, lus eoufflrJenls sont des nombres entiers, et les exposants des nombres algébriques quelconques.
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Pour le démoiilrcr, soient
les aulres racines de réquation iilgébfique à laquelle satisfait le, ; do mfime soient
/., . . . , /n' les autres racines de Téqualion à laquelle satisfait l,, etc. Formons tous les polynômes qu'on peut déduire de Ç^) en remplaçant k, successivement par les racines connexes ki . ., l, par les racines h. .. ; faisons le produit de toutes les expressions ainsi formées, on aura
Dans chaque parenthèse, les exposants sont formés symétriquement avec les quantités /e„l^...; ce sont donc encore les racines d'une équation algébrique à eoelïicients entiers. Notre produit a alors la forme supposée dans le théorème de M. Lindemann ; par suite il ne peut devenir nul. Aucun de ses facteurs ne peut donc l'être, ce qui démontre le corollaire.
5. Voici enlin une proposition encore plus générale : Le nombre e ne peut viirifier une idenliti; de la forme C'„ + CV*-4-CV-l-... =0,
dans laquelle les coefficients aussi bien que, lus ixfiosaiils sunt
des nombres algébriques quelconques.
Formons en effet tous les polynômes qu'on peut déduire
du précédent en remplaçant chacune dos racines C; par
1 une des racines connexes
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LA THANSCKMIANCK [>[] MIJUlliK
le produit dos polynômes ainsi formés est
{Jîiiî;:::^]
Les coefiicients de ce polynôme sont des fondions symétriques des quantités
Ci, Ci i:,'i,
et par suite ce sont des nombres rationneis. Nous relombons donc sur le corollaire démontré précédemment; celle expression ne peut être nulle; il en est donc de môme de chacun de ses facteurs.
6. De tous les théorèmes qui précèdent, il résulte que non seulement e n'est pas un nombre algébrique, mais que ce n'est même pas un nombre iiilersceiidant, si on appelle ainsi, avec Leibniz, les nombres de la ("orme x'", A étant une irrationnelle algébrique. C'est donc un nombre (ranscendant d'ordre supérieur.
La réciproque suivante est maintenant évidente : .S't le nombre e vitrifie une identité de la formn C« + C|e*-i-Cje'>+ . . = 0,
il est impossible que tous les coefftcimilx el loua l<ts exposanls
soient des nombres alf/vbriqwss.
7. Transcendance du nombre -. — JN'ous avons déjà rappelé que le nombre e vérifie Féquaiion remarquable
Les coefficients de celte équation sont algébriques ; donc l'exposant i-^ ne l'est pas (fi) ; donc le nombre t; est Iransceniianl.
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