Considérons la fonction

on sait que

ot il semble que cotto identité soit en contradiction avec notre théorème. Il n'en est rien; il suffit en effet de remarquel que nous avons implicitement exclu le cas de l'exposant nul; dans ce cas, la fonction ■^[x) perdrait ses principales propriétés, et nos conclusions ne seraient plus exactes.

Excluons donc ce cas particulier (se = U, y = 1) ; le théorème de M. Lindemann prouve alors que, dans l'équation y = e', y ni X, c'est-à-dire le nombre et son logarithme ne peuvent pas être algébrtgues simultanément . A une valeur algébrique de x correspond une valeur transcendante de y et réciproquement. C'est là évidemment une propriété très remarquable.

Construisons la courbe y = e", et supposons marqués tous les points algébriques du plan, c'est-à-dire tous les points dont les deux coordonnées sont des nombres algébriques ; la courbe passe entre eux, sans en contenir aucun, sauf le point x = Q, y = l- Le théorème reste d'ailleurs vrai, même quand x et y prennent des valeurs imaginaires. La courbe exponentielle est donc une courbe transcendante, et cela dans un sens beaucoup plus élevé qu'on n'a coutume de le penser.

9. Une autre conséquence du corollaire de M, Lindemann est la transcendance de la courbe

et de toutes les autres courbes analogues.

La fonction y=arcsina: est la fonction implicite définie par l'équation

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