INTRODUCTION

ces problèmes avec la règle et le compas, et c'est précisément parce que leur solution semblait exiger l'inlervenlion de moyens d'un ordre plus élevé, que ces questions sont devenues célèbres, IN'ous montrerons en effet qu'il est impossible d'en trouver une solution avec la règle et le compas.

L'impossibilité du troisième problème n'a été démontrée qu'à une époque relativement récente. Celle du premier et du second résulte implicitement de la théorie générale de Galois, telle qu'on la trouve développée aujourd'hui dans les traités d'algèbre supérieure. Mais il n'en existe pas de démonstration explicite, sous forme élémentaire, si jetais abstraction des livres d'enseignement de Petersen, qui me semblent d'ailleurs remarquables sous bien d'autres points de vue.

Insistons d'abord sur la diiïérence entre constructions pratiques et constructions théoriques. S'agit-il de construire un cercle divisé pour un instrument de mesure, cette opération ne se fait en réalité que par tâtonnements. La division exacte du cercle en parties égales (par la règle et le compas) n'était autrefois possible que pour les nombres 2", 3, 3 et leurs divers multiples. Gaoss y a ajouté d'autres cas en montrant la possibilité de la division en p parties, lorsque p est un nombre premier de la forme

et l'impossibilité de ia division dans tous les autres cas.

La pratique ne peut tirer aucun profit de ces résultats ; les considérations de Gauss ont une signification purement théorique; il en est de même des développements qui font l'objet de ces leçons.

Le premier problème que nous nous proposons est le suivant :

Quels problèmes peut-on ou ne peut-on pas ciinslruire géomélriquemeiit ?

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INÏUOnuCTIOX 11

Précisons d'abord le sens du mot » construire », et à cet effet indiquons les InstrumcnLs dont nous nous servirons le cas échéant. Ce sont :

V La règle et le compas ;

2" Le compas seul ;

3° La règle seule ;

A" D'autres appareils que nous joindrons à la ri'glc ot au compas.

Il est singulier que la géométrie élémentaire ne suffise pas pour répondre à la question posée. Le secours de l'algèbre et de l'analyse devient nécessaire, et il faut par suite nous demander comment s'exprime dans leur langue l'emploi de la règle et du compas pour les constructions. Ce nouveau tour qu'il faut donner à nos idées tient à ce que la géométrie élémentaire ne possède pas de méthode générale, pas d'algorithme, comme les deux sciences que nous venons de nommer.

Dans l'analyse on trouve d'abord les opérations rationnelles, addition, soustraction, multiplication et division. Deux longueurs étant données, on sait immédiatement f;xéculer5ur elles, au moyende quatrièmes proportionnelles, ces différentes opérations, à condition de joindre aux longueurs données une longueur unité, dans le cas de la multiplication et de la division.

Nous trouvons ensuite les opérations irrationnelles; elles se divisent en algébriques et transcendantes. Les opérations algébriques les plus simples sont l'extraction des racines carrées, des racines d'indices supérieurs à 2, la résolution des équations algébriques non résolubles par radicaux, comme celles du 5° degré et celles de degré supérieur. Comme on sait construire /ÔJ, on saura donc construire, avec la règle et le compas, les résultats de toutes les opérations irrationnelles où il n'entre que des racines carrées.

Donc toute formule rationnelle, oune renfermant que des

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la INTRODUCTION

radicaux carriîs, peut ûLre construite avec la règle et le compas.

D'autre part, toute construction géométrique isolée, qui revient à l'intersection de deux droites, d'une droite et d'un cercle, de deux cercles équivaut à une opération rationnelle ou à l'extraction d'une racine carrée (*].

La construction (par la règle et le compas} des irrationnelles d'ordre supérieur est donc impossible, à moins qu'on ne puisse les ramener à l'extraction d'une suite de racines carrées. 11 va de soi que dans toutes les constructions le nombre des opérations doit être limité.

De ce qui précède résulte donc ce théorème fondamental :

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une expression analytique puisse être construite avec la règle et le compas, est qu'elle se déduise des grandeurs connues par des opérations rationnelles ou par des racines carrées en nombre fini.

Par conséquent, pour démontrer qu'une grandeur ne peut être construite avec la règle et le compas, il suffira de faire voir que l'équation qui la fournit n'est pas résoluble par un nombre fini de racines carrées.

A plus forte raison en sera-t-il ainsi lorsque l'équation du problème n'est pas algébrique. Un nombre qui ne vérifie aucune équation algébrique, s'appelle un nombre transcendant. Ce cas se présente pour les nombres e et it, ainsi que nous le montrerons.

rintïi'sectioii de deux droiti^s

■ telle d'une droite et d'un cercle, h celle du systÈmi