Considérons maintenant l'équation plus générale

X désignant un paramètre, qui peut èircune (piantité complexe de la forme a-\-hi. Celte é(juation traduit analytiquement, ainsi que nous 1(> verrons, aussi bien le problème de la multiplication du cube que celui de la trisection d'un angle quelconciue.

Il s'agit de reconnaître si celte équation est irrédii('tiblt\

MUI'LK'ATIO.N UV ClIîK liT THISI'CTION DK L A.\r;Lp;

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c'est-;i-dirc si Tune de ses laciiKîs se présente sous la forme <l'une fonction rationnelle de À.

Remarquons en passant que rirréductibilité d'une expression dépend en i^énéral des grandeurs qu'on suppose <3onnues. Dans l'équation a'' — 2 = 0, il s'agit de grandeurs numériques ; on se demande si yi peut avoir une valeur numérique rationnelle. Pour l'équation x^ — X = 0, on se demande si une racine de cette équation peut être représentée par une fonction rationnelle de À. Dans le premier cas, le domaine de rationaUlé comprend l'ensemble des nombres rationnels ; dans le second cas, il est forme'' par les fonctions ralionnolles d'un paramètre.

Ce paramètre étant supposé indépendant, on voit immé-

diatement qu'aucune expression de la forme

dans

laquelle o(À'i et 'i>(A) sont des polynômes, ne peut vérifier notre équation. L'équation considérée est donc irréductible, •et, comme son degré n"est pas de la forme 2'', elle n'est pas résoluble à l'aide de radicaux carrés.

3. Restreignons maintenant la variabilité de À. Posons A = rfcos o + i sm o),

d'où y'f^ = Vr '\/cos o -\- i sin o .

Notre problème se décompose en deux : extraire la racine cubique d'un nombre réel et celle d'un nombre imaginaire de la forme cos o + z sin cp, ces nombres étant d'ailleurs quelconques. Nous alhms traiter séparément ces deux pro- •^ blêmes.