X.2 = cos
X3 = cos
lir.
Ces racines se représentent géométriquement {fii/. il par
les sommets d'un triangle équi-
laléral, inscrit dans un cerclt> de
rayon 1, ayant l'origine pour
centre. La figure montre qu'à la
racine a*, correspond l'argument o -^î l'équation considérée est
donc l'expression analytique du problème de la trisection de
l'an-le.
Fig. -2 Si l'équation
.«■' — (cos o -+- { sin o) = 0
nrpi.iCATKiN nu criu-: kt TitisKurioN uv. i, anci.k iJo
était rôduclible, l'uno au moins de ses racinos devrait pouvoir être représentée par une fonction rationnelle de cos o et sin o. Par suite sa valeur ne changerait pas en remplaçant o par Stt -H ^.
Mais, si on opère ce changement par une variation continue de l'angle cp, on voit que les racines a:,, a^,, Xj se permutent circulairement.
Par conséquent nulle racine ne peut être représentée par une fonction rationnelle de cos o et de sin c&. Donc l'équation proposée est irréductible, et, comme son degré n'est pas de la forme 2'*, elle n'est pas résoluble à l'aide de racines carrées en nombre fini. La trisection de l'angle ne peut donc se faire avec la règle et le compas.
Cette démonstration, de même que le théorème général, n'est valable que si ? est un angle arbitraire; pour certaines valeurs particulières de ? la construction peut se trouver possible.
CllAl'lTHl-: III La division du cercle en parties égales.
1. La division du cercle en n parties égales a fait l'objet des recherches des anciens ; on sait depuis longtemps résoudre le problème lorsque n est égal à l'un des nombres 2'', 3, 5 ou à l'un de leurs multiples communs.
Dans ses Disrjuisitioncs arillmteliac, Gauss a augmenté le nombre des entiers pour lesquels la solution est possible, en montrant que la division peut se faire pour tout nombre premier de la forme
et qu'elle est impossible pour tous les antres nombres premiers et leurs puissances.
Si, dans Téquation (1), on donne à ;jl les valeurs 0 et 1. on trouve pour p les valeurs 3 et 5, cas qui étaient déjà connus des géomètres anciens. Pour a = îi, on trouve
p = 2-^-'^ i r= 17; ce cas a été complètement traité par (lauss. Pour [J- = 3. ou trouve
qui est un nombre premier; on sait donc construire le polygone régulier de 257 côtés.
11 en est de même pour a = -4, car -r^' f 1 ^ 0do37 est un nombre premier.
Les valeurs 5,0, 7 attribuées à ^ no donnent pas de nombres premiers. Personne n'a encore examiné le cas de ;ji = 8; il ne faut pas s'en étonner, il a fallu en elVet de
lllVlSlii.N DU CICKCl.K i:\ l'Al(Tli:S lOGALI-S It
patients cil'orts et une iiiyéniusilc siiiyulièie pour démontrer que les grands nombres correspondant à \^ = 5,0, 7 ne sont pas premiers. Il est donc possible que ijl = A soit le dernier nombre pour lequel une solution sf)il possible.
Richelot a publié un travail considérable sur le polygone régulier de ^jT eûtes, dans le Journal de Crelle^ t. IX., 1S32, p. 1-26, li(i-l(»i, 2(39-230, 337-356. Son mémoire est intitulé :
De resolulione abjchraica ;rqualiouis
^•"' = 1, xi ce de dlvisioni circuli per Irisectioneni anyidi sejilies repelitam in partes 257 inter se œquales commenlatio coronata.
M. Hermès, professeur à Lingcn, a consacré dix ans à des recherches sur le polygone régulier de 65537 côtés; il a examiné avec soin toutes les racines qui se présentent d'après la méthode de (lauss. L'ensemble considérable de ces recherches est conservé dans les collections du séminaire mathématique de Gœttingue. On peut se reporter k une communication de M. le Professeur Hermès dans le n" 3 des « Gœttinger Nachrichlen » (1894).
2. On peut restreindre le problème de la division du cercle en n parties égales au cas où n est un nombre premier p ou une puissance p"^ d'un tel nombre. En effet, si n est un nombre composé, et si pt et v sont des facteurs de » premiers entre eux, on peut toujours trouver des entiers a et b positifs ou négatifs, tels que 1 = a.u -h èv,
,, , l a h d ou . — — i
IJLV V <J.
Pour diviser le cercle en uv = n parties égales, il suflit de savoir le diviser respectivement en [x et v parties égales. Ainsi pour n = 15, on a
