PREMIÈRE PARTIE

3. Démontrons d'aborfl la proposition suivante : Lorsqu'un nombre premier est de la forme

on a nécessairement h = S-^.

Nous nous appuierons pour cela sur le théorème de Fermât :

Si p est un nombre premier, et a un entier non divisible par p, ces nombres vérifient la congruence

a''-^ ^4-1 (mod. p) ^*'

p — 1 n'est pas nécessairement le plus petit exposant qui, pour une valeur donnée de a, vérifie la congruence. Soit < ce moindre exposant; on démontre que s est un diviseur de p — 1 (**'. Si en particulier s est égal à p — 1, on dit que a est une racine primitive de p ; remarquons en passant que pour chaque nombre premier p il y a nécessairement une racine primitive. Nous ne ferons d'ailleurs usage de cette considération que plus tard.

Soient donc p un nombre premier tel que

C) a ^ b (mod. p) s'énonce a congru à b (module p] et signifie que l;i différence a — 6 est divisible par p. La congruence ci-dessus signifie donc que Qf^' — 1 est divisiljle par p. C'est l'énoncé du théorème de Fermât tel qu'on le donne dans les traités élémentaires. On peut ajouter, soustraire, multiplier, diviser membre à membre des congruences de même module, élever au carré les deux membres dune congruence.

On pourra consulter à ce sujet les Leçons d'Arithmétique de M. Tannerv. p. 454 et suivantes, de M. Humitert, p. 162 et suivantes.

(**) Soient q et r le quotient et le reste de la division de ;* — 1 par 5, de sorte que

p — 1 ^ sq-h- r,

donc a''~' =: a'"Ka''.

Comme, par hypothèse,

a" =^ -+■ 1 (mod. p),

on a aussi a"' ^ H- l t^mod. p\

et par suite a''~'~"' = a^ ^ -h i mod. p\

Or r est inférieur à s: et s est par hv-pothèse le plus petit entier vérifiant la congruence

ar ^ -T- [ I mod. p .

Donc /• ^ 0, et /i — | := sq.

ItIVISION DU CEltCLK I.N l'AUTll.S ÉGALKS 29

(1) 7>=2" + l, et .V le plus ])etit entier tel que

(2) 2' = -+-! (mod. p).

L'égalité (1) montre que 2'' < /? ; la congruence (2)

exige que 2* > p ; donc

L'égalité (1) montre que h est le plus petit entier vérifiant la congruence

(3) 2''=— 1 (mod.p).

De (2) et (3) on lire par division

2*-'' = — 1 (mod.p);

donc

D'autre part, on conclut de (3) par élévation au carré

22" = ! (mod. 73).

Comparant à (2), et tenant compte de ce que s est le plus

petit exposant vérifiant les congruences de la forme

2' ^ 1 (mod. p}^

il vient

Les conditions (4') et (5) devant être remplies simultanément, on a nécessairement

Or on a remarqué que s est un diviseur de p — I = 2'', il en est donc de même de h, qui, par suite, est une puissance de 2.

Donc les nombres premiers de la forme 2^^ H- l sont nécessairement de la forme