Arrivons maintenant à notre proposition fondamentale

p étant un nombre premier, la division du cercle en p parties égales, au moyen de la règle et du compas, est impossible si p nest pas de la forme

Posons z = x-\-iy; traçons dans le plan de la variable z un cercle de rayon 1. Diviser ce cercle en n parties égales revient à résoudre l'équation binôme -" 1 = 0.

Cette équation admet la racine :: = 1 ; supprimons-la en divisant par :• — 1, ce qui revient, géométriquement, à ne pas considérer le point de départ de la division. Il reste alors à résoudre Téquation

([ne nous appellerons V équation de division.

Or, quand n est égal à un nombre premier p, cette équation est irréductible nous allons le démontrer ciaprès) ; elle ne i)cut donc être résolue à Taidc de radicaux carrés en nombre tini que lorsque son degré est une puissance de 2 (Chap. 1, 15). Il faut donc que n— I = p—l = 2\ ou bien

P = 2''-i-l, et par suite

On voit que les nombres premieis. signalés par Ciauss. jouent un rôle tout particulier.

DIVISION DU r.KHCLK KN l'AfiTlKS Kl.ALKS 31

6. Reste donc ;i Taire \"ir qiu! l'iMiiKilioii do division est irréducliblo.

Lemme de Gauss.

Lorsqu'un poli/nome raliouncl ci cnlier, à codfficknts entiers (*), peut être décomposé en un produit de deux facteurs rationnels, les corfflcirnls de ces farteitrs sont aussi des nombres entiers.

Soit

F{z) = z'" + Â="'-' + Bs'"-^ H h L:: -h M

ce polynôme ; A, B, C, . .., M sont des nombres entiers. Par hypothèse ce polynôme peut se mettre sous la forme

Il s'agit de faire voir que les coefficients a, et P; sont des nombres entiers.

Supposons qu'ils soient fractionnaires. Réduisons dans chaque facteur tous les coellicients au même dénominateur ; soient «o et ho ces dénominateurs communs. Multiplions ensuite les deux membres de notre égalité par o^ho ; elle prend la forme

aoèoF(-) = A(-)c?,(z)=(ao:;"''+a,3'"'-'-i---)(^'o2"'"+A,="'"-*H-").

Les coefficients a sont des nombres premiers entre eux et de môme les b, puisque par liyi)othèse ao et 60 sont les plus petits communs dénominateurs.

Supposons «0 et bo différents de l'unité, et soit q un diviseur premier de «o^o- Soient de plus a, le premier coefficient de /",(;) et h,, le premier coefficient de oi(«), non divisibles par q. Développons le produit fi{z)^i{z) et cherchons le coefficient de , :'"'-i-"' -'-'•. Ce sera

afik + a,i6fr^i -t- • • • -h a,-^i6A i 4- ai^^bk^^ h

D'après nos hypothèses, tous les termes à partir du second

(*) Ayant l'unité pour coefficient de son terme de plus liaut degré.

32 l'REMIKKI-: l'ARTIK

sont divisibles par 7 ; le premier ne l'est pas ; donc ce coefficient n'est pas divisible par 7. Or le coefficient de .m'-hm"-i-k dans le premier membre est divisible par 0^//,,, c'est-à-dire par q. Donc si l'identité est vraie, il est impossible que dans chaque polynôme il existe un coefficient non divisible par q .

Les coefficients de l'un au moins des polynômes sont donc tous divisibles par 7. C'est là une autre impossibilité, puisque nous avons vu que tous ces coefficients sont premiers entre eux.

Donc on ne peut supposer a^ et /^^ difl'érenls de 1 ; et par suite les coefficients a, et ^, sont entiers.