ti

Tous les coefficients du second membre, sauf le premier, sont divisibles par p : le dernier coefficient est toujours égal à /) qui, par hypothèse, est un nombre premier. Une expression de ce genre est toujours irréductible. En effet, s'il n'en était pas ainsi, on aurait

f{x-i-i) = fx'" -h a,a-"'-' -+- h rt,„,x -f- a,„)

{x'"' -+- A,.r"'-' H h b.,r-iX -h />,„■),

les cocnicicnfs " et les coellicients /> étant des nombres entiers.

lilMSION 1»U CERCLE EN PAHTIRS ÉGALES 33

Los tormos indépendants de x devant cire égaux, on a

f'„J',.,' = p ; p étant un nombre premier, l'un des facteurs du premier mombro doit être égal à l ; supposons donc qne

II,,, = ±: p, />,„' = ± 1.

Égalons ensuite les coeflicients des termes en x ; il vient

Pip-i) , ^ ,

j— r — = ",„-i'fn,'-ha,„0,„-i.

Le premier membre cl le second ternie du second membre

sont divisibles par p ; il doit donc en être de même de

<im~\fjm- ; comme h,,,' = zb 1, a,„i est divisible par p.

Égalant ensuite les coefficients des termes en x^ il vient

pip — ^Y'P — -)

'. — cî~~^ ^ <lm—if^m' -\- nm-lt>m'—l ~\~ O-m—i'^m'—^ I

on en conclut que (im-i est divisible par p.

On continuerait ainsi de proche en proche ; le coefficient du terme en a-'" serait

fhfi,,,' -+- nif),„'t -h ■■■ \ avant d'arriver à ce coefficient, on a démontré que a,n, ffm-i, . . • «1 sont divisibles par p ; on en conclut que a^ doit aussi être divisible par p, ce qui est impossible puisque «0 = 1-

L'égalité supposée est donc impossible, et par suite l'équation de division est irréductible, lorsque p est un nombre premier.