Cas où n est égal à une puissance d'un nombre premier
Soit H = p^ ; nous allons montrer que si p est plus grand que 2, la division du cercle en p- parties égales est impossible. Le problème sera résolu par là même pour 3t >> 2 ; car la division en ji'' parties égales comprend évidemment la division en p- parties égales.
3i l'IiE.MIKHE l'AUTIK
L'équation de division est ici
elle admet comme racines étrangères au problème celles qui conviennent à la division en p parties égales, c'est-à-dire les racines de l'équation
supprimons ces racines étrangères par division ; l'équation de division deviriil linalement
ou bien
La substitution z = x-^ i la transforme en
(a; + l)H/'-i)+(a;-h 1)'';^2)^ ^ {x -h iY -^ i = 0.
Le nombre des termes étant ;>, le terme indépendant de ar, après développement, sera égal à p, et la somme aura évidemment la forme
yj^x) étant un polynôme entier à coelTicients entiers dont le terme indépendant vaut 1. Or, nous venons de montrer que cette somme est en général irréductible. Par conséquent la nouvelle équation de division est aussi irréductible.
Le degré de cette équation est pip — 1). D'autre part une équation irréductible n'est résoluble par radicaux carrés que lorsque son degré est une puissance de 2 ; donc un cercle n'est divisible en p- parties égales, avec la règle et le compas, que lorsque j) — 2 \ bien entendu on suppose que p est un nombre premier.
Il en est de même, nous l'avons déjà remarqué^ pour la division on //" i)arties égales quand a> 2.
CllAlMTIJE IV
La construction du polygone régulier de 17 côtés.
1. Nous venons de voir que la division du cercle en parties égales, au moyen de la règle et du compas, n'est possible que pour les nombres premiers signalés par (iauss. Il y a maintenant intérêt à savoir comment la construction peut réellement être exécutée.
Ce chapitre aura pour objet l'exposition élémentaire delà méthode en s'attachant on particulier au cas du polygone régulier de 17 côtés.
Il n'existe pas encore de construction résultant de considérations pureuKMit géométriques ; nous sommes donc obligés de reprendre la voie indiquée par les considérations générales. D'après cela il nous faut considérer tout d'abord les racines de l'équation de division
et construire géométriquement l'expression formée de radicaux carrés que nous en déduirons.
On sait que ces racines peuvent se mettre sous la forme
ïfc = cos —r -{- i sm -— {/: = 1,2, . . . , 16) ; 1 i 1 / ' / '
en posant
El = cos h i sin — ,
il vient
c, — rA-
Géométriquement ces racines sont représentées dans le plan de la variable imaginaire par les sommets d'un polygone régulier de 17 côtés, inscrit dans un cercle de ravon 1 ayant l'origine pour centre, en laissant de côté le point
36 PHKMlKliE l'AHTIK
origine do la division. 11 est indilléient de mellre en évidence la racine ^ plutôt qu'une autre ; ce n'est que pour la construction qu'il est nécessaire de préciser la question et d'indiquer quel i sert de point de départ.
Une fois m déterminé, l'angle correspondant ù h est égal à A- fois celui qui correspond à ^i, ce qui détermine entièrement Zk-
2. L'idée fondamentale de la solution est la suivante : En se servant d'une racine ■primitive par rapport an module 17, on peut ranger les 16 racines de Véquatinn dans un ordre déterminé de manière à former lai cycle.
Comme nous l'avons dit antérieurement, un nombre a est dit racine primitive par rapport à 17, lorsque la con-
gruence
a- ^ -f- 1 (mod. 17;
a pour plus petite solution
Le nombre 3 iiossède cette propriété. On a en eflel
(mod. 17 .
Rangeons alors les 16 racines dans un Drdro tel cpie leurs indices soient précisément égaux aux restes précédents :
(1) ^31 %i 'IO1 ^l:)i -.il -15i -II1 -11.5 'lli ^S. -:. -il ^12. -î, -6' -I-
Remarquons ([ue si /■ est le reste de 3'', «m a
3'' = 1 7// H- r, donc
Si /■' est le reste qui suit r, on a de môme
i'iilv(;<im: kkcii.ii:!! m: 17 cotks ."$7
hoiir iliuis la sKili' (h's racines^ chdqai; racine est le culjc de 1(1 iirrci'dt'nli'.
La méthode de Gauss consiste à décomposer ce cycle en sommes contenant respectivement S, 4, 2, 1 racines correspondant anx diviseurs du nombre 16. Chacune de ces sommes s'appelle une période ; les périodes ainsi obtenues peuvent se calculer successivement comme racines de certaines équations du second degré.
Le procédé que nous venons d'esquisser n'est qu'un cas particulier de celui qu'on emploie dans le cas général de la division en p parties égales. Les p — 1 racines de l'équation de division sont rangées cycliquement à l'aide d'une racine primitive de p; on en forme des périodes qui se calculent comme racines de certaines équations auxiliaires (*). Le degré de ces dernières dépend des facteurs premiers de p — 1 ; ce ne sont donc pas nécessairement des équations du 2*= degré.
Le cas général a été traité en détail par Gauss dans ses « Disiixisitiones », et aussi par Bachmann, dans son opuscule « Théorie de la division du cercle en parties égales » (Leipzig, 1872).
3. La formation des périodes se fait de la manière suivante. On forme deux périodes de 8 racines en prenant dans le cycle (1) les racines de rang pair, puis celles de rang impair. Désignons ces périodes par .r, et X2; remplaçons pour abréger chaque racine par son indice, nous écrirons symboliquement
a^i = 9-t- 13-hlo + lG+ 8-f-4-+- 2 + 1,
Opérons sur Xi et x^ de la même manière ; nous formerons 4 périodes à 4 termes :
(*) Voir la Trigonométrie de Briot et Bouquet.— Propriétés des racines de l'équation binôme. J. G.
'AH l'REMIlCHK l'ARTIE
?/, = i;{ -h igh- 4+ 1,
Opérant enlin de rnèine sur les ij ; nous obtenons 8 périodes
à 2 termes :
-, = ir, 4- I, :; = U-i- 6,
Il s'agit maintenant de montrer que ces diverses périodes peuvent se calculer à l'aide de racines carrées.
4. Le simple aspect de ce dernier tableau montre que la somme des restes correspondant aux racines formant une période z est toujours égale à 17 * . Ces racines sont
donc Zr et tr. — 'S
£,. = cos )■ —zr -t- ' ?in /■ -— > il II
£,,. = E,-,. = cos (17 — /•) -^ -+- i sin 17 — /• ^
= cos r i sin /• — — ;
donc
2Tt
£,. -I- S,.. = 2 cos r-^ ■ 1 /
Toutes les périodes : sont donc réelles. Il vient par suite
(*) On peut le démontror de la manière suivante :
Si on remonte des périodes : aux i/, aux .r, puis au cycle (11. cela revient à insérer entre les deux racines qui forment un ; successivement 1,3, 5, 7 termes. Si donc une de ces racines correspond au reste r lourni par 3'', l'autre correspondra à un reste r' fourni par 3^+^ Donc
r -H r' = 3* -+- •S'"'-* (mod. 17) = 3*\1 -h 3«) = 17. 3^
Cette somme est donc divisible par 17, et comme r et r' sont inftrieiu's à 17 il en résullc r * r' = 17. J- •••
l'(tLV(;i>M; RKiUMJKK HE 17 COTÉS
:, = 2 cos :2 = 2 cos 4 =3 = 2 eus 2 2; = 2 cos 8
TT
Tf
:.; = 2 cos
:,, = 2 cos
;: = 2 cos
Zs = 2 cos
Un a d'ailleurs, par déliniliou.
X\ = =1 — t— Zi — i- -3 — r- ^4,
5. 11 nous sera nécessaire de connaître la grandeur relative des différentes périodes.
""^~^ '^- ' X cet effet nous emploierons
l'artifice suivant. Divisons la moitié du cercle de rayon 1 en 17 parties égales {fiQ. 3), et désignons les distances du A^. premier point de division 0 aux suivants A,, A,, . . . ., An
■'^K.p par
S,, So , S,:,
Si: étant égal au diamètre, '^' c'est-à-dire égal à 2.
L'angle OAnA^. a même mesure que la moitié de l'arc
2A-:r OA/f, lequel vaut — ; on a donc
'-1 cos
Sa- = 2 sin — = 2
Pour que cette formule soit identique à 2 cos h ^^ - il
faut que
àh = 17 - /.-.
40 l'HKMIÈRE l'AHTIE
En donnant à h les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, f», 7, 8, on trouve
pour k les valeurs
