Nous nous proposons maintenant de calculer

:i = 2 cos ^- Ce calcul fait cl celle quantité construite,

il sera aisé d'en déduire le coté du p(^lygone régulier de 17 ctMés.

POLYGONE HÉGL'LIKlt DE 17 COTÉS 41

Associons ;, à la période ;:2 qui forme avec elle la période i/i ; on a d'abord

Cherchons maintenant à calculer ^iCo.

z,z, = (10-Mj{13-4-4); dans ce calcul symbolique, le produit /./> représente en réalité

par conséquent il doit se représenter symboliquement par

b-h p, en ayant bien entendu soin de retrancher 17 de

/.H- ]) chaque fois qu'on le peut. Il vient ainsi

Donc :;i et Co sont les racines de l'équation du 2" degré

d'où, puisque z, >>-2,

?/i + \fy'i — %4 .'/i — \/yi — ^?/^

Il faut donc connaître y^ et ?/,. Pour cela associons à ?/i la période j/. qui forme avec elle la période Xi et à j/4 la période 7/3 qui forme avec elle la période a*,.

On a d'abord ?/i + j/2 = a;i.

Puis

En effectuant ce produit suivant les règles du calcul symbolique, le second membre devient égal à la somme de toutes les racines, c'est-à-dire à — 1.

Donc t/i et j/2 sont les racines de l'équation

(t)) if — x,y—i = 0,

d'où

\-2 PHEMIKIU-: l'AHTIK

De même on a

?/ ' -^ V* — ^ï ' on vérifierait comme précédemment que

donc j/:) et j/^ sont les racines de l'équation

d'où

.Tj

-f-v/xl

puisque î/3<î/4-

Reste enfin à calculer Xi et Xi. Or a-, -h x^ est égal à la somme de toutes les racines, c'est-à-dire à — 1. En faisant le produit x^x^ d'après les règles du calcul symbolique, on trouve que ce produit contient 64 termes et qu'il est égal à 4 fois la somme de toutes les racines, c'est-à-dire à — 4 ; de sorte que a-, et x, sont racines de l'équation

d'où

— l-4-s/l7 — 1 — /ÎT

puisque a;, > .r,.

En résolvant successivement les équations ;, r,, r/, ^, z, se calcule bien par une suite de racines carrées.

En faisant ce calcul, on voit (jur :, dt'pend des quatre radicaux

/ÎT, \ix\ + 4 , \jx\ -+- 4 . v'i/; — 4//; .

Si donc on veut mettre 3| sous la forme normale, il faut voir si l'un de ces radicaux ne s'exprime pas rationnellement en fonction des autres. Or

^^'\ H- 4 = Ui — l/2, ^/•'•f -1- 4 = i/t — 1/ i .

roLvcd.NK i!i:i,rLii;i( m; 17 cutks 43

Kn ctilculanl syinbuliquciiicnl, un vérilie que

i?/i — yiJ[Ui — 2/:i) = 2(a?, — Xi), (•"esl-ii-(liro

^xf -h 4 Ai + 4 = 2v/l7 .

Celle égaiilé monlre que si des trois différences ?/, — 1/2, 2/i — ?/3, iCi — Xi, deux sont positives, il en est de même de la troisième, ce qui est conforme aux résultais obtenus directement.

Remplaçons maintenant Xi, j/i, y, par leurs vak'ur^ numériques ; on trouve successivement

.Il = ^

— 1 -h v^ry -4- V^34 — ^2v/lT

\/6H+1^2v^7 - 16v/34-h2v/T7— 2! 1— /Î7lv/34-2v/Î7

La partie algébrique de notre problème est donc terminée. Nous avons déjà fait la remarque qu'on ne connaît pas de construction du polygone régulier de 17 côtés déduite de considérations purement géométriques ; il s'agit donc maintenant de construire nos expressions algébriques, c'est-à-dire les racines de nos équations du second degré.

7. Qu'il me soit permis d'intercaler ici une digression historique sur les constructions avec la règle et le compas .

Dans la géométrie des .\nciens, l'usage de la règle et du compas est toujours simultané ; l'art consiste à rapprocher les différentes parties de la figure de telle manière qu'on n'ait à dessiner aucune ligne inutile. Il est indifférent que

44 MtKMIKRK ['AIMIE

les constructions successives se fassent avec la règle ou le compas.

Par contre, en 1797, l'Italien Mascheroni a fait la tentative, couronnée de succès, d'exécuter toutes les constructions avec le compas seul ; il a exposé ses procédés dans sa u Geometria del compasso », et prétend que les constructions au compas sont plus exactes que celles avec la règle. Ainsi qu'il le dit expressément, il écrit pour les arts mécaniques ; il a donc toujours un but pratique devant les yeux. L'ouvrage original de Mascheroni est dillicile à lire, et nous devons remercier M. Hutt d'en avoir donné un petit résumé en allemand « Les Constructiuns de Mascluroni » (Halle, 1880).

Bientôt après, les géomètres français, en particulier les disciples de Carnot, l'auteur de la Géométrie de positiun, ont essayé inversement d'exécuter toutes les constructions autant que possible avec la règle (Voir aussi Lambert, Perspective libre, 1774j.

Ici se pose une question, à laquelle l'Algèbre permet de répondre immédiatement : Dans quel cas la solution d'un problème d'Algèbre peut- elle se construire avec la règle seule ? Les auteurs cités n'ont pas donné de réponse bien catégorique. Nous dirons :

La règle perinel de construirr loulcs Irs fxpressiuns alijéhriques dont la forme est ralionnellr.

Dans le môme ordre d'idées, Brianchon publia en 1818 un petit écrit « Les applications de la théorie des transversales » dans lequel il montra que dans beaucoup de cas on peut se tirer d'affaire avec la règle seule. 11 insiste de son côté sur la valeur pratique de ses méthodes, (jui sont destinées à faciliter les opérations du géomèlre-topograplH\

C'est Poncelet qui, le premier, dans son « T rat lé des propriétés jii'ojrclivcs » Vol. I, 351-357 a émis cette idée ([uil sullit de tracer dans le plan un seul cercle lixe pour jiouvoir construire à l'aide de la règle toutes les

l'()LV(;<»NK HKCUI.IKK 1»K 17 C.OTI-IS

(expressions tl(''[H'ii(l;iiil, de r;i(lic:iu\ carrés. II laiil connailrc d'ailleurs le centre de ce cercle.

Cette idée a été di'veloppée par Steiner (1S83) dans un écrit célèbre, intitulé : /j'x conslnicllons gdoyiifUrii/ni's exécutées à Valdc dr la rèi/lr cl d'ii/i rrrch' fixe.

8. Pour oirecliicr la construction du polygone régulier de 17 ciUés, nous suivrons la méthode indiquée par von Staudt (Journal de Crelle, T. 24, 1842), modifiée plus tard par Schni'ler (Journal de Crelle, T. 73, 1872). La construction du polygone de 17 côtés y est faite selon les règles indiquées par Poncelet et Steiner; on s'y sert de la règle et, d'un cercle fixe.

Montrons d'abord comment, à l'aide de la règle cl d'un cercle fixe, dont le rayon est égal à l'unité, on peut construire les racines d'une équation du second degré,

x'^ — px -\- q — 0, dont les racines sont .ri et Xi (*).

Menons ifï;j. A) un diamètre AR du cercle fixe et les tangentes à ses deux extrémités ; adoptons sur ces tangentes une direction positive. Portons sur la tangente supérieure un segment AD me-

sure par — ? sur la

tangente inférieure un segment BC mesuré par — ; joignons C et I), et marquons les points Mi et M. où la droite CD rencontre le cercle ; menons enfin les droites AM, et AMî qui rencontrent la tangente inférieure en X, et X2; les deux segments BXT, BXo ont pour mesures Xi et xo.

(*) On ne fait aucune hypothèse sin- le signe des racines.

46 l'HKMIKlU-: l'AHTIK

Kn ell'et, supposons que

La tangente en B peut être considérée comme la figure inverse du cercle 0, le centre d'inversion étant A et la puissance d'inversion AB . Donc

ÂM,.ÂX, = ÂM0.ÂX2 = Âb", ce qui prouve que les quatre points M,, Mo, X|, Xo sont sur un même cercle. 11 en résulte

CXi . CX2 = CM, . GM2 = CB' ou bien

(BX, -BC)(BX2 — BC) = BC',(*) d'où

BX, . BXo Jvï* 7