I.e symbole

/r n'est autre chose que l.:2..} r=)-'.; parl'emploi

de ce symbole, on peut éciire

// na pas d'autrr slgnificaHun ; il sert uniquement à écrire sous une forme plus simple toute formule contenant des puissances et des factorielles.

76 DEUXIÈME l'AHTIE

Supposons doniK' un polynôme d'iveloppé

nous représentons par / //) et nous écrivons sous la forme

la somme

Supposons que le polynôme /"(x) ne soit pas développé. Calculer /"(/<), c"est développer ce polynôme par rapport aux puissances de h et remplacer ensuite A'' par /•!. C'est ainsi que

f(k-hh = 2 <-r k^hf = 2 c'rh' = 2 c;./-:

Le polynôme ^{x).

Considérons le polynôme remarquable

p est un nombre premier, n le degré de l'équation algébrique à laquelle satisfait par bypothèse le nombre <■. Nous supposerons p supérieur à n et à |Co|, et plus tard nous le ferons croître au-delà de toute limite.

On aura une image géométrique de ce polynôme en construisant la courbe

Aux points j:= 1, 2, ,.., n elle admet l'axe des acomme tangente d'inflexion, puisqu'elle le rencontre en un nombre impair de points, tandis qu'à l'origine, elle le toucbe sans inllexion. Pour les valeurs de x comprises entre 0 et n, elle reste dans le voisinage de l'axe des .r ; pour des valeurs plus grandes de x, elle s'en écarte indéfiniment.

LA THANSCK.MiANCli DU NOMUHK <? 77

Pi'oprhHrs du pdhjiinmr çfx).

I. X êtanl supposr ditnnr cl p croissant au-delà de toulc limile, o(x) tend vers zéro, et de même la somme des valeurs absolues de ses Icrtnrs.

Posons u = xii — x< . . . {n — x) ; on peut écrire

qui, pour p infini, tend évidemment vers 0.

Pour avoir la somme des valeurs absolues de o{xj, il suffit de remplacer — x par |x| dans la forme non développée de o{x). La seconde partie de la proposition se démontre alors comme la première.

II. h étant un nombre entier, o(li) est un nombre entier, mm divisible par p, et par suite différent de zéro.

Développons cp(a?) par rapport aux puissances croissantes de x, en remarquant que les termes de degré le moins et le plus élevé sont respectivement de degré jj — 1 et np-+- p — 1 . On aura

?(^) = Zu ^'•■■^'' — Donc

Abstraction faite du dénominateur p — 1 ! qui figure dans tous les termes, les coefficients c,. sont des nombres entiers. Ce dénominateur disparaît sitôt qu'on remplace h'' par r !, puisque la factorielle de moindre degré est

Tous les termes du développement, à partir du second, contiendront le facteur p . Quant au premier, il s"écrit

78 ueuxiï;mk i'amiie

(1.2 ... ny.p — \.\ , .,

et n'est certainement pas divisible par le nombre premier -p, puisque, par hypothèse, -p est un nombre plus grand que ».

Donc

o(/0 = {n\y (mod. p),

et par suite ^f(/0 :7^ 0.

cp(/i) est d'ailleurs un très grand nombre ; calculons son terme de degré le plus élevé ; c'est

(np+y; — 1!) , ,, , ,.

^-L '—— = « I p -1- 1 ) ... (np -{- p — I .

ni. h l' tant un entier, cl k r un des nombres

<f(// + /.•) est un nombre entier divisible jxir p. On a

formule dans laquelle on ne doit remplacer /<'' par /■ !

qu'après avoir ordonné le développement par rapport aux

puissances croissantes de h.

D'après les règles indiquées pour le calcul symbolique,

on a d'abord

[[{-k-h\ -2—h-li)-;-li)-.{n-l;-liyp

p-il

k ayant l'une dos valeurs 1, 2 /?, un des facli-urs

du crochet se réduit à — li ; par suite, le terme du moindre degré en h dans le dévelopi)ement est de degré p. On peut donc écrire

Les coeHicients oii( (Micore pour iiumiTaleurs des nombres

i.A rn.vNS(:i:Ni»ANCK m; .ndmiuU': <■ t\)

onliors cl pour (lériominalciir /> — I 1. Ce dénoiniiiuleur disparaît sitôt qu'on remplace //'' jtar /■ ! Mais, celte fois-ci, tous les terinos du développement sont divisibles par j) ; en etrct, le premier s'écrit

o{k -+- /:) est donc divisible par ]> .