Démontrons maintenant que l'identité

F(e) = Co -f- C,c 4- Coc^ + . . . + Cnc" = 0

est impossible.

Multiplions les deux membres par 'f (/«)*, il vient o{li).F(e) = Co'f(/0 H-Cio(/iV+ ••• + Cnoih)e" = 0.

Cherchons ensuite à décomposer un terme quelconque C/j»(/t)e'' en un entier et une fraction. On a

Ayant égard au développement on série de e'', un terme quelconque de cette somme, abstraction faite du coefficient c,., a la forme

Ir.k k'-.k' h'-.k'- A'-.A"-^'

1 'il ^ ri r-i-il

On doit y remplacer /<"' par ;■ !, ou, ce qui revient au même, par l'une des quantités

si en même temps on simplifie les fractions successives, il vient

80 DEUXIKME l'ARTIE

La première ligne a même forme que le développement de (// H- kv; dans la parenthèse delà seconde ligne se trouve la série

dont les termes sont respectivement inférieurs à ceux de la série

La seconde ligne peut donc se représenter par une expression de la forme

rjrk étant une fraction proprement dite.

Faisons la môme décomposition pour chaque terme de la somme

elle prend la forme

é^ c,h- = 2 c,.(A -+- /.•)'■ + e^-^ q,.,uc,l<'.

La première partie de cette somme n'est autre que 'f 7iH-A-); c'est donc (propriété III) un nombre entier divisible par p. D'autre part (propriété I)

tend vers 0 quand p devient infini ; il en est donc de même a fortiori de

Le terme considéré Ckc''o{h) est donc bien sous la forme d'un entier Cao(/< -f- /.) et d'une quantité C;,;;. qui. par un choix convenaltle de p, peut être rendue aussi petite qu'(^)n le veut.

En procédant de même pour tous les termes, il vient

LA rUANSCENDA.NOE DU NÛMBRli: e 81

linaleiuciit

F(f.)cp(/<) = Coo(/i) -h C,cp(// -+- 1) -t- . . . 4- C„o(/i + n)

-+- Gi£, -H C.E. -h . . . + C„£„ .

Il est maintenant facile d'achever la démonstration. Tous les nombres de la première ligne, à partir du second, sont divisibles par p\ pour le premier le facteur Co est en valeur absolue inférieur à ^r, <j[h) n'est pas divisible par ^j; donc Coç>(A) n'est pas divisible par le nombre premier p. Par conséquent la somme des nombres de la première ligne n'est pas nulle.

Les nombres de la seconde ligne sont en nombre Uni ; chacun d'eux peut être rendu plus petit que tout nombre donné par un choix convenable de 7; ; il en est donc de même de leur somme.

Un nombre entier non nul et une fraction ne pouvant donner pour somme zéro, l'identité supposée est donc impossible.

La transcendance de e, ou encore le théorème de M. Hermite est donc démontré.

CIIAl'iTIII': IV La transcendance du nombre -.

1. La démonstration de la transcendance du nombre -r. est due à M. Lindemann. C'est une extension de celle donnée par M. Hermite pour le nombre t\

Dans le chapitre précédent, on a montré que lo nombre c ne i)Ouvait vérifier une identité de la forme

Co + C,r + C.^^ +...} c„e" = 0.

M. Lindemann démontre limpossibilité d'une identité analogue; seulement, à la place des puissances e, p^ ... il introduit des sommes de la forme

(?''l -I- a^'i j . . . J g^N ^ pj\ i ^'i ;... | g/.N'

Les nombres /ù, /.•>, . . ., /.•^• sont les racines d'une même équation algébrique, à coefficients entiers du degré N: de même les nombres /j, /o, ..,, h sont les racines d'une équation de degré ^", etc. Ces racines peuvent d'ailleurs être imaginaires.

Le théorème général de .M. Lindemann peut donc s'énoncer sous la forme suivante :

Le nombre e 71e peut vérifier une idenlilé de lu fontu'

(1) Cû-hC,( c'''+c''-^H t-'-'^'"*)+Co(>y'+r'^H !-,.'>■ •)!... =0,

les coef/iciriils C, rln)}t entiers, et les ex))os(inls d'une mrnir parenthèse étant les racines réelles ou imaginaires d'ummême équation ahjébrique à coefficients entiers.

Soit

ax^ -\-aiX^~' -h •■• -+-".N = 0

LA TliA.N.Si:K.M)AN(:h: UV MlMItliK - 83

réqiialion admoltanl pour racines los exposants /i, ;

celle qui admet pour racines les exposants /,. Ces équations ne sont pas nécessairement irréductibles, ni leurs ])remiers cocnicients égaux à l'unité; les fonctions symétriques de leurs racines, qui seules se présenteront dans nos développements ultérieurs, ne sont donc pas nécessairement des nombres entiers.

Pour n'avoir que des nombres entiers, il suffira de considérer les fonctions symétriques des nombres

a/.'i, a/ro, . . . , (i/,\^

/y/,, hl, />/^', etc.

On voit facilement que ces nombres sont racines des équations

'.r -+■ "jV"""' -+- "\fiir~- H- ■■■ -+- (l.^a''-^ = 0, y' -^ hi^'-' H- hjjif'-^ -H h hc-b^'-^ = 0, etc.

les fonctions symétriques rationnelles des racines de ces équations sont évidemment des nombres entiers.

Cela posé, la marche de la démonstration est la même que pour le théorème de M. Hermite.

On suppose vraie l'identité (li; on multiplie ses deux membres par un même nombre M ; on décompose chaque

somme telle que

en une partie entière et une fraction, telle que M(e''' 4- e''-^ H- ••• -h e'''^) = M, + £i, M I o'' -i- ç'2 H -H rJ''") = Mo -h £3,

Notre identité devient alors

CoM + CjMi + C.Mo H h C,ii + CoE, + • •• = 0 .

On montrera , par un choix convenable de M, que la somme des nombres de la première ligne représente un

entier non divisible par un certain nombre premier /:>, et par suite différent de zéro; que la partie fractionnaire au contraire peut être rendue plus petite que tout nombre donné ; on tombe alors sur la même contradiction que pré'cédemment.

2. Nous nous servirons encore du symbole h', et d"une certaine fonction '^(a;).

Le polynôme '\>{x).

Ce polynôme est une généralisation du polynôme 5(0:) employé dans le chapitre précédent. On pose

ii(x) = — \{ki — x)(h\ — x) . . . [k^ — xi\>' .a""' .a^'^'a''"''.. .

X [(/i — x){l2 — x)... {Is- — x)]''h^''.b'''''b^"i'. . .

p est un nombre premier, supérieur en valeur absolue à chacun des nombres

Co, fl, />, ..., «N, /'.N', . . .;

nous le ferons même croître indéfiniment. Quant aux facteurs a^^, b^''\ . . . , nous les avons introduits afin de trouver dans le développement de -l^x) des fonctions symétriques des quantités.

a/i'i, al,i, . . . , rt/ix,

blu bl, bU;

c'est-à-dire des nombres rationnels et entiers. Plus loin nous aurons à développer les quantités

^•i'(/'v + /'), 2'VÀ+^

La présence des mêmes facteurs sera encore nécessaire, si on veut que les coefiicienls do ces développements aient pour numérateurs des nombres entiers.

I,A TliANSCKMl.VNCI': DU NOMIJIiH " 8o

Projirirlcs de hi fanctiun 'ti[.v).

I. '\>{li) est u)i nnuibre entier, non divisible par p, et par suite di/fèrcnt de zi-ra.

En ordonnant '} //) par rapport aux puissances croissantes do A, il vient

Dans ce développement tous les coefficients ont pour numérateurs des nombres entiers et pour dénominateur /) — 1 ! . Le coeflicient du premier terme /«''~' s'écrit par exemple

— («/il . ak, . . . aki,y . a'^'^'a^''^' . .

(—lYp-^^'i'-^--'.(a:,a^-^y.a'''i'.a''"!'...((}^'h^'-^'^''.b''i'b^"!\

Si dans ce terme nous remplaçons h''~^ par ;j — 1 !, le dénominateur disparaît. D'après les hypothèses faites sur le nombre premier /j, aucun facteur de ce produit n'est divisible par p, et par suite il en est de même du produit.

Le second terme C^M devient de même un nombre entier quand on remplace h'' par p 1 ; mais le facteur p se conserve, et il en sera de même pour tous les termes suivants. Donc la somme '^[h) est un entier non divisible par p.

H. X ayant une valeur finie donnée, et p augmentant indéfiniment, le polynôme

tend vers 0, de même que la somme des modules de ses termes. On a ({/(^a;) = V CrX''

= 77 ' a^.fl'*' . . . (7,-, — x){ki — x). . . (A'n — x)

X 6>7^N' . . . (/j x){lo — x) ... (/„' — x)

Désignons le crochet par K ; il vient alors

et cette quantité tend évidemment vers <), (juand /y croit indéliniment.

Ce raisonnement reste évidemment valable (juand <jn remplace chaque terme de •l[x] par son module.