I.A TIîANSCK.Nn.V.NCh: DC NOMBHr: - iS
llcmplaçoMs inaiiilcnanl /«'" par /• ! ; le déiKuninaleiir dispaiait dans (ous les cocdicients ; mais le faclour j) se conserve au numérateur ; la somme est donc bien un nombre entier divisible par p.
11 en sera évidemment de même pour
Nous avons ainsi trois propriétés de o(x), analogues à celles démontrées pour '^{x) h l'occasion du théorème de M. Ilermite.
3. Revenons maintenant à la démonstration de notre théorème. Il s'agit de montrer que l'identité
il) Co+Ci(>'^'-4-'?^^-l--'+(?'^^)+G2:e''+e'2H---H-e^^')+--- = U
est impossible.
A cet eiï'et, multiplions ses deux membres par 'Yyh); elle devient
Co'^yO + C,re''-i.<;(/j)-+- ••- -H e"^.'l{h)]
-^c.:ji'^.'i\h)-\ hç'"'.'y/o] + --- = (».
Cherchons à décomposer chacune des parenthèses en un nombre entier et une fraction. L'opération sera un peu plus longue que précédemment, car k peut être une quantité complexe de la forme /,•' h- ilc' ; soit | k \ son module ^Jk'-^k'"-.
On a
Le produit c'\li'' peut s'écrire, comme nous l'avons montré précédemment,
Les modules des termes de la série
sont respectivement inférieurs à ceux des termes de la Sf'-rie
Il en résulte inod.
ou bien
q^^h étant une quantité complexe dont le module est inférieur à l'unité.
On peut donc écrire
= ,^{h + k)+^c,q,JV e""!.
Affectons dans cette égalité /.• successivement des indices 1,2, . . . , N, et faisons la somme ; il vient
=2'KA-v + /"+liUi'si2c,../.-:
Procédons de même pour toutes les autres sommes ; le premier membre de notre identité prend alors la forme
LA Tlt.WSrrNDANCK DU NOMimE it 89
D'api-rs I;i ]»ropriété II, on peut rendre ^ | c,/-'" | pluspelil
quo tout nonihie donné, en choisissant p sndisannnonl
grand. Connno
ni(jd. '/,.,/, < 1,
il en sera a fortiori de mémo de et par suite aussi de
v=il r
Comme le nombre des coeflicients C est limité, la somme qui figure dans la deuxième ligne de l'identité (2) peut être rendue aussi petite que l'on voudra.
Les nombres de la première ligne sont, à partir du second, tous divisibles par ;) (Pr. III) ; le premier nombre Co'K/0 ne Test pas (Pr. I). La somme des nombres de la première ligne n'est donc pas divisible par jj, et par suite elle est différente do zéro. La somme d'un nombre entier et d'une fraction ne peut être nulle ; l'identité (2) est donc impossible et par suite aussi l'identité (1).
4. Voici maintenant une proposition plus générale que la précédente, mais dont la démonstration est une conséquence immédiate de la première. Pour cette raison nous l'appellerons le
CoroUairi' de M. Lindcmann.
Le nombre e ne j) eut vérifier une identité de la forme
(3) c; -h c'w,'^-. -h cy . 4- ... =0,
dans laquelle les coefficients sont des nombres entiers, et les exposants des nombres abjébriques quelconques.
DF.rXIKME l'ARTIE
Pour le démontrer, soient
les autres racines de l'équation algébrique à laquelle satisfait /.-, ; de même soient
les autres racines de léqualion à laquelle satisfait /,, etc. Formons tous les polynômes qu'on peut déduire de 3) en remplaçant /c, successivement par les racines connexes /t2 . . , /, par les racines h. . ', faisons le produit de toutes les expressions ainsi formées, on aura
nie;
Co
Dans chaque parenthèse, les exposants sont formés symétriquement avec les quantités /.■„/,...; ce sont donc encore les racines d'une équation algébrique à coeflicienls entiers. Notre produit a alors la forme supposée dans le théorème de M. Lindemann ; par suite il ne peut devenir nul. Aucun de ses facteurs ne peut donc l'être, ce qui démontre le corollaire.
