DEUXIÈME LEÇON

Nous allons établir Téquation de Poisson en suivant une méthode exposée par M. Sarrau dans les Nouvelles Annales de Mathématiques (année 1887). Cette méthode repose sur des formules qui permettent la transformation de certaines intégrales triples en intégrales doubles et, en particulier sur la formule de Green.

Théorème. — Soit une surface <y limitant un volume v composé d'une ou de plusieurs parties séparées, soit F (a?, y, z) une fonction des coordonnées a?, t/, z, finie, continue et bien déterminée à Tintérieur du volume. Soit dv un élément de volume, de un élément de la surface a ; a, le cosinus directeur de l'angle que la normale à l'élément d^s, dirigée vers l'extérieur du volume, fait avec Taxe des x\, nous allons démontrer que l'on a :

:^ dv = jjaFda, {a)

et deux relations analogues, la première intégrale s'étendant à tous les éléments du volume v et la seconde à tous les éléments de la surface a.

Un élément de volume ayant pour expression, en coordoi.nées trirectangles,

dv = dx dy.dz,

nous aurons :

Intégrons d'abord par rapport à la variable œ.

Pour cela cherchons entre quelles limites va s'étendre l'intégration par rapport à x»

Fig 9.

Soit, dans le plan yz {fig, 9) un élément dydz ; considérons le prisme qui aurait cet élément pour base et dont les génératrices seraient parallèles à Oo? ; il découpe dans le corps un élément d(5^ en y entrant enM^ : soient a^b^Ci^ les cosinus de la normale à cet élément, dirigée vers Textérieur ; il découpe ensuite un élément dfs^ en sortant du corps en M^ : soient a2^2^2 ^®s cosinus de la normale à cet élément, dirigée vers Textérieur; puis il rentre en M3, sort en M^, etc..

Puisque le volume est supposé limité, le nombre des rentrées et des sorties M^ Mg Mg M^... est pair ; tous les éléments

dis^y c^ffj, d<s^, dfSj^y etc. ont même projection dydz sur le plan des yz.

Soient F, Pj P3 F^... les valeurs de la fonction Faux points M^ Mj M3 M4..., on aura

Jfdydz [(F, - F,) + (P, - F») + . .].

car l'intégrale générale est ^ ; alors l'inlégrale définie comprise enire M^ et Mg, M3 et M^,... donne Fj — F^, F^ — Fa,.** Or la normale à cfd^, dirigée vers l'extérieur du volume fait un angle obtus avec ox^ son cosinus que nous avons désigné par a^ est négatif, nous avons donc :

dydz = — ^Jidc^f

car dydz et d<s^, qui représentent des aires, sont essentiellement positives.

Eh d<i2, la normale extérieure fait avec ox un angle aigu, a, est positif et on a :

dydz =^ a^efiTj ;

de même

dydz = — a^dc^y dydz - a^d<5^^

Remplaçons dans l'intégrale, il vient :

Jfdydz [ - F, + F, - F3 + F, - J

=ff{+ a^d<î^¥^ -f- a^dfs^T^ + a^d<j^¥^-^a^d<s^¥^

Il faudra étendre l'intégration à tous les éléments de la surface ; et l'on peut écrire :

ffaFd.,

en sous-entendant que Tintégrale est étendue à toute la surface ff, donc :

fffâ "' =11-^^^-

Conséquences. — i° Si nous faisons F = 1, nous aurons :

=z l j addf

résultat évident a priori, car il exprime que la somme des projections de tous les éléments d'une surface sur un plan en tenant compte des signes, est nulle.

2° Faisons F = a?, nous aurons :

fffdv = \=ffaœd<,,

formule qui ramène la recherche d'un volume à une intégrale double.

3° Nous venons de démontrer que si F est une fonction continue deœ,y,z à l'intérieur du volume t?, nous pouvions écrire:

ffffj^=ff''^'^'^

de même si G et H sont des fonctions continues, finies et bien déterminées à l'intérieur du volume v, nous aurons, en appe-

lanl a, ô, c les cosinus directeurs de la normale à Télément da menée vers l'extérieur du volume t?,

et en ajoutant membre à membre,

formule employée en physique mathématique.

Formule de Green. — Elle s'obtient en particularisant les fonctions F, G, H. Soient p et cp deux fonctions finies et continues à l'intérieur du volume v, des coordonnées ar, y, z.

Faisons :

^ ex ^ oy

" 'if-

c)<p dop

^ ^x ^ ly

p r^ étant finies et continues à

l intérieur

lume V.

On a :

c)a! " 'àx* '^ èx ix

Dz ~ p iz* ~ iz iz

Portons ces valeurs dans Téquation précédente et posons :

3aî Sa? ^y^y ^^ ^^ la formule prend la forme :

cest la formule de Green,

On peut écrire le second membre plus simplement en introduisant la dérivée dans le sens de la normule.

Nous appellerons dérivée d'une fonction «p en un point M dans la direction MN (fig, 10), la limite du rapport de Taccroissement de la fonction, quand on passe

Kig. 10.

du point M au point infiniment voisin M' sur MN, à la distance positive MM' = c?w, cette dérivée se désigne par

dn

«p est une fonction de x^y^z; quand œ croît de dœ^ y de dy^ z de dz^ «p croît de c?çp, et on a:

dxy dy, dz sont les projections de MM' ou dn sur les trois

axes, «, b, c les cosinus de la demi-droile MN, on a donc :

dx = a,dn^ dy = b.dn^ dz = c.rfw,

et l'expression de crcp devient:

dn <)a? "^ ^y ^z ^

dn

n)ule de Green, on a :

est une notation symbolique ; en Tintroduisant dans la for-

(6) ///p.A,.rf. +///X.rf. =jjp. 2 rf..

Cas où F, G, H sont discontinues. — Nous avons supposé dans ce qui précède que les fonctions F, G, H étaient finies, continues et bien déterminées à l'intérieur du volume v.

Voyons ce que devient la formule de Green dans le cas où FGH deviennent infinies ou discontinues en certains points P, P'... intérieurs au volume.

Nous ne pouvons plus appliquer les formules en étendant les intégrales au volume tout entier ; entourons alors chacun des points P, P'... [fig, 11) par une surface ff, ff'..., étendons les intégrales triples au volume compris entre la surface S elles petites surfaces ff, (t'..., les intégrales doubles à la surface 23 et aux petites surfaces <y, d'..., et cherchons si ces intégrales tendent vers des limites quand les surfaces a, ff'... tendent vers o.

Fig. 11

Il importe de bien prendre les dérivées ^ dans le sens de

la normale extérieure au volume ; pour la surface S (Jîg, 12) ce sens est celui de Textérieur au volume limité par la surface S ; pour les surfaces <j, <j'..., c'est celui de la normale dirigée vers l'intérieur des volumes limités par ces surfaces, c'est-àdire vers l'extérieur du volume haché.

Applications. — Supposons :

Fig. 12.

p = ^ [xyz], et (p = -'»

r étant la distance du point a?, y, z au point a, p , y de sorte que

1' p Extérieur. — Si P est extérieur, la formule:

s'applique sans modification, car r n'est jamais nul.

2° P Intérieur [fig. 13). — Si le point P (a, p, y) est situé à l'intérieur du volume, çp est infini au point P puisque r devient nul ; entourons alors P d*une petite surface ff' et voyons ce que deviennent les formules précédentes.

Fig. 13. La formule fondamentale est .

fffï^r=ff''^'''

faisons-y F = pcp ; la fonction pcp n'est plus continue dans Tintérieur du volume, elle est infinie au point P.

Appliquons la formule au volume compris entre d et d', nous aurons :

'-^'''=ffff^^^+ff^:f^''^''

l'intégrale triple est étendue au volume compris entre d et d'.

La première intégrale du second membre est étendue à la surface a, la seconde à la surface d' ; a', p\ <p' sont les valeurs des fonctions a, p, cp sur la petite surface <y'.

Supposons que a' tende vers o et cherchons ce que devient la formule.

Démontrons que les intégrales tendent vers des limites.

L'intégrale triple tend vers une limite, car elle est égale à:

ici :

Si on prend des coordonnées polaires ayant le point P pour origine, comme précédemment, les infinis disparaissent et rintégrale a un sens indépendant de la façon dont la petite surface fs' tend vers o.

Etudions le second membre.

La première intégrale [est déterminée ; pour étudier la

seconde supposons que la surface a [fig, 14) qui entoure le point P soit une sphère de rayon r'. Sur cette sphère on a :

mais, sur la sphère, r est constant, alors cp' est constant et peut sortir du signe d'intégration,

or d^' est un élément de surface sphérique ; pour l'évaluer

Fig. U.

Fig. 15.

décrivons une sphère de rayon égal à Tunité du point P comme centre [fig, 15), et considérons le cône de sommet P et de base dfi ; il découpe sur la sphère de rayon 1 un élément superficiel diù tel que :

diù 1

d'où :

dfs' = r'V.

Portons cette valeur dans la formule précédente, faisons sortir r'^ du signe somme, nous aurons après avoir divisé par r'

au numérateur et au dénominateur :

r' / / a^'dtù ;

faisons tendre r vers o, l'intégrale tend vers o, car a! est un

cosinus, p' est fini, ij dtù aussi, donc la seconde intégrale

devient nulle quand la surface <i' tend vers le point P, de telle sorte que le second membre se réduit à :

/ / apcpo^ff,

et nous pouvons écrire dans tous les cas :

Cette formule a donc lieu même quand le point P est intérieur à la masse attirante.

La formule de Green :

fff,.^,. dv -^fffxdo =JJ, ^ d.

a été établie en supposant p et op continues ; cherchons ce qu'elle devient quand :

p = ^ (xi/z),

!• Supposons le point P extérieur, — Nous avons, en

remarquant que A<p = o pour cp == -> d'après un calcul pré-

cèdent,

///"" -fff'

an

Fig. 16.

2® Supposons le point P intérieur, — <p devient alors infini pour r — o ; entourons le point P d'une petite sphère {fig. 16) et étendons la formule de Green au volume compris entre les de ux surfaces <y et (j'.

Nous aurons:

///,A,.* +///X* =£/;^^„ ., +JP * *•;

cherchons ce que devient cette formule lorsque la sphère c tend vers le point P.

Nous avons identiquement, d'après un calcul fait dans la

première leçon, Acp = o, car ç = -; Je premier membre se

réduit donc à:

"ktlv.

Tranformons l'intégrale :

Nous avons :

sur la surface s'.

LEÇONS SUR h ATTKACTION

Nous devons mener à la sphère (x' une normale dirigée vers l'extérieur du volume d'intégration, c'est-à-dire vers l'intérieur de la sphère a et prendre sur cette normale an élément MM' = dn\

Mais MM' = — dr\ Donc :

par suite :

dn = — dr\

quant à c/a' [fig, 17), nous aurons, comme précédemment, en considérant la sphère de rayon i décrite de P comme centre :

d(5^ = 7^^ dm.

En remplaçant dans l'intégrale précédente et en supprimant le facteur;''^, il Tiendra:

//p'rfco ;

Fig. 17.

cherchons la limite de celte intégrale quand r' tend vers o.

p' est la valeur de p sur la surface de la sphère, alors p' tend vers la valeur de p au point P: soit K cette valeur, l'intégrale tend donc vers

ffKd.;

K est une constante, donc :

ff^doy =1 ^ffd^

Mais I I d(i> représente la surface de la sphère de rayon 1 c'est 47r, par suite :

donc enfin :

Formule de Poisson. — Nous avons :

Posons comme dans (1) et (2) : (p = - »

nous avons :

M = / / / ç^dv.

Remarquons

que :

car :

sl{x.

-*)' + (y-P)' + (^-YJ

de même :

donc :

p ne dépend pas de a, c'est une fonction de x^y^z.

Transformons cette expression à l'aide de la formule (1) qui donne :

donc :

^=jJj^E'^''-//''p^''«

Dérivons une seconde fois :

'à=Jj0.''-Ihl^"

remplaçons r^ par — ^» nous avons :

'i-jjjti-^jj"t--

Remarquons que ^ ne dépend pas de a, ^ seul en dépend

pour la différenciation du premier terme ; a etp ne dépendent pas de a, a est un cosinus qui dépend de la forme du volume attirant.

La formule précédente a un sens quelle que soit la position

5â LBÇCN& SUR l'attraction

du point P ; où le prouve en employant les coordonnéts polaires comme précédemment. Nous aurions de même :

Ajoutons membre à membre :

5^ + ^ + 5^ = -//P>^" +fj P â ^''

car :

en nous reportant à Ja formule (â), nous voyons que le second membre est égal à — 47rK, donc :

C'est Tec^M^^ion c?6 Poisson ; elle conneiit au cas où le point P est intérieur, K est alors différent de o.

N^iM pouvons en déduire la formule de Laplace qvty convient au cas où P est extérieur en faisant K == o.

Théorème de Oauss. — C'est une conséquence 4e k lofnuU de PoîsaoA.

LEÇONS 8Uft L'ATTRAGTtON

Imaginons un point P attiré par des masses quelconques. Soit:

l'intégrale étant étendue au volume attirant et cp

Coupons les masses attirantes par une surface fermée S [fig, 18), rencontrant les masses ou non. Soit M la masse totale intérieure à S, je dis que

-T- o?(r == — 47tM4 an

Fig. 18.

l'intégrale étant étendue à toute la surface S ; m est la fonc-

dtjd tion potentielle correspondant à l'attraction des masses ; -r

la dérivée de la fonction potentielle suivant la normale.

Pour démontrer ce théorème, nous partirons de la formule

de Green

et nous y ferons p = 1, (f := w ce qui est possible puisqu'elle a été établie dans Fhypothèse oi!k p et cp étaient deux fonctions quelconques finies et continues ; dans ces conditions

car:

il vient donc :

//>«•* =fffè ^-

Or u est une fonction de a, p, y :

w = /*(qc,p,y);

supposons qu'on ait exprimé f en fonction de œyz^ alors:

d'après Poisson ; car si on met œ,y^ z h. la place de a, {J, y on aura Téquation précédente au lieu de:

Nous avons donc :

- 4.///prf. = jj I rf,.

Or pc?y représente la ma?se d*un élément de volume, donc :

JJf^dv = M,

et il vient :

— 47rM =

si la surface S englobe toutes les masses attirantes, M représentera leur masse totale.

Théorème. — La fonction potentielle na ni maximum, ni minimum en dehors des masses attirantes, u peut être considérée comme une fonction de a, p, y

on de a?, y, z, . j.

Soit P un point quelconque extérieur ; nous allons démontrer qu'il est absurde de supposer queu est maximum en P.

Soit R le rayon d'une sphère [fig, 19), pris assez petit pour

que la sphère décrite de P comme centre avec R pour rayon ne rencontre pas les masses attirantes.

L'application du théorème précédent donne

Fig. 19.

jjt "' = "•

car:

Or:

donc:

dn = rfH,

Cette relation doit avoir lieu quel que soit R ; si la fonction potentielle u a un maximum en P, elle doit diminuer quand

on s'éloigne de P ; donc cette fonciion de R doit être décroi?-

du santé aulour «le P en s'en éloignant, donc -75 doit être négatif

dans toutes les directions et par suite, sur tous les points de

la ëphère, (ou8 les éléments de Tintégrale sont alors négatifs et leur somme ne peut être nulle.

S'il y avait minimum en P, tous les éléments de Tinlégrale seraient positifs.

On en conclut, d'après le théorème de Dirichlet, que le

point P ne peut pas être une posi- -^ tion d'équilibre stable, et qu'il ne

^^ peut y avoir que des positions d'é-

Fig. 20. quilibre instable en dehors des mas-

ses attirantes.

Ainsi, par exemple, il existe pour un point P, pris entre la terre et la lune (/ïg, 20), une position d'équilibre, mais elle est instable; la fonction potentielle correspondant à cette attraction n'est ni maximum ni minimum en P.