OU
u = j j j prdrsinHd^dff.
Sous celte forme nous voyons que u reste fini môme quand P est intérieur à la masse attirante.
La fonction potentielle est nulle lorsque le point P (aPy) s éloigne à tinfini.
En effet, dans ce cas, tous les éléments de l'intégrale qui représente la fonction potentielle deviennent nuls, car r est infini, et comme Tinlégrale est étendue à un volume fini, elle est nulle.
Deuxième cas. — Le point P est à l* intérieur de la masse attirante.
Lorsque le point P est à Finlérieur de la masse attirante, nous ne devons pas appliquer sans précautions la règle de différentialion sous le signe somme, parce que la fonction qui est sous le signe d'intégration devient infinie pour r i= o.
Or nous avons vu que la fonction u était finie pour tous les
pomts de 1 espace et que les expressions de y"' n^' "n" avaient
un sens, même quand le point P était à l'intérieur de la masse attirante, donc l'emploi de la règle de différentialion sous le signe d'intégration est légitime, puisqu'elle conduit à une expression parfaitement déterminée dans tout l'espace. Nous pouvons donc résumer ce qui précède en disant : 1° La fonction potentielle u est finie pour toutes les valeurs de a, {J, Y ; 2** Elle admet des dérivées partielles t-> t;;? t" Qui sont
da dp dy
finies dans tout l'espace ; 3** Les composantes XYZ de Tattraction sont toujours repré-
sentées par les expressions :
parce que les seconds membres ont un sens parfaitement déterminé dans tout Tespace.
Nous démontrerons que w, X, Y, Z, sont desfonctionscontinues de a, p, y (*),
Propriétés des dérivées secondes de la fonction potentieUe. — Nous avons trouvé :
^' vJj ^^ *•
Calculons les dérivées secondes.
Distinguons deux cas, comme dans le calcul des dérivées premières.
i^ Le point P est extérieur à la masse attirante, — Il n'y a dems ce cas aucune difficulté, puisque tous les éléments des intégrales restent finis et on peut appliquer la règle de différentiation sous le signe dlntégration :
'iih^' [- Â + '-^^]
du du du (M Pour démontrer que u nt ses dérivées partielles r-j r-î r- soQtconti- ' Vol o^ oy
Dues (ce qui moutrera que les composantes X, Y, Z de l'ottraction le sont), il suffit de comparer ces quantités pour deux points P et P' infiniment vuiilDS»
ces expressions ont un sens puisque P est extérieur à la masse attirante.
Ajoutons-les membre à membre et posons :
^^'""S^ + ^pâ + ^p' Nous aurons :
donc :
Aw = o.
C'est Véquation de Laplace.
' 2** Le point P est à V intérieur de la masse attirante, — Nous avons vu que, dans ce cas, les dérivées premières
r- ~ — existaient et qu'elles étaient données par des inté-
ôft dp dy
grales bien déterminées dans tout Tespace.
Quant aux dérivées secondes ^-r: r:;^: c—s» elles ne seront
ÔÇL* o^^ ôy'
représentées par les intégrales (IV) que si ces intégrales ont un sens bien déterminé, ce qui n'a plus lieu dans le cas qui nous occupe puisque r devient nul.
Cela ne veut pas dire que les dérivées secondes n'existent pas, mais cela prouve que nous ne pouvons pas obtenir leurs valeurs par voie d3 différentiation sous le signe d'intégration, puisque cette règle conduit à une formule indéterminée.
Pour démontrer l'existence des dérivées secondes dans ce cas nous ne pourrions pas passer aux coordonnées polaires (^).
Nous pouvons montrer directement que t intégrale est indé-
(') Nous avons montré que lorsqu^oii prenait des coordonnées polaires
LEÇONS SUIl L ATTRACTION 17
terminée. — Pour cela traçons aulour du point P. {/îg. 3} un petit volume fermé et excluons ce petit volume du champ
Fig. 3,
d'intégration, alors l'intégrale étendue au volume couvert de hachures a un sens, puisque noua avons éliminé le point où l'élément difTérentlel devenait inHni; si maintenant nous fai-
ItamplaçoQs ces lateurs dani
'-^ = — rCfp.r'dr ain W9if '^ (1 — 3 9'°' 8«>9 'r) ^ yY r 3"°'«'^'*r-' .(fr $mdbd? ; l'élémeal dllIéreaUel de l'ittlégrale du stcond meoilire devient iiiQui pour
sons tendre vers o le petit volume qui entoure le point P, nous voyons que l'intégrale tend vers une limite qui dépend de la façon dont ce petit volume tend vers o.
Pour calculer les dérivées secondes, nous devons recourir à une autre méthode.
Dans ce cas Féquation de Laplace n'est plus vérifiée, elle est remplacée par celle de Poisson qui se traduit par la formule:
Lu = — 47rÂ,
h étant la valeur de la densité au point a, [i, y:
Nous démontrerons cette formule ultérieurement.
Calcul de l'attraction d'un corps sur un point très éloigné. — Nous allons démontrer que l'attraction est sensiblement la même que si toute la masse attirante était concentrée en un point quelconque de cette masse, et que l'on peut, avec une approximation plus grande, supposer que ce point est le centre de gravité du corps.
Soit P [fig. 4) le point attiré que nous supposons très éloigné, M un point de la masse attirante ; MP = r.
La fonction potentielle a pour expres-
sion
Fig. 4.
l'intégration étant étendue à tout le volume.
Prenons à rinlérieur de la masse attirante un point quelconque ; dans le triangle MOP on a, en posant :
