TA

et, comme le centre de gravité est à Torigine des coordonnées Z = o, donc h := o; nons avons donc nne approximation plus grande en supposant la masse attirante concentrée ao centre

de gravité ; Terreur commise est de Tordre de ^» alors qu'en

prenant un point quelconque Terreur était de Tordre de '^-

On peut donc résumer aûisi t attraction sur un point très éloigné :

i* Lim tf = o, c'est-à-dire la fonction potentielle s'annule pour on point infiniment éloigné.

Pour R très grand on a :

u = ^ approximativement ;

2* Lim Ru = M. C'est--à-dire que le prodoit de la fonction potentielle par la distance de Torigine au point attiré a une limite finie égale à la masse attirante ;

3"* La valeur de la fonction potentielle relative à l'attraction d'une masse continue sur un point P très éloigné est, à une

erreur de Tordre de g^» la même que si la masse attirante était concentrée en un point quelconque de celte masse, etde^i la même que si la masse totale du corps était concentrée en son centre de gravité.

Ces remarques ont des applications en mécanique céleste.

Applications de la théorie générale à quelques cas particuliers* — 1° Attraction dune couche sphérique supposée composée de couches concentriques homogènes sur un point P. — Nous supposons la couche sphérique attirante creuse et remplie d'une matière disposée par couches concentriques homogènes.

«*{*Pt)

Flg. 6. ^

Alors la densité p est une fonction de R seul : on a :

Calculons la valeur de la fonction potentielle correspondant à l'attraction d'une telle masse sur un point P {fig. 6) non compris dans cette masse, c'est-à-dire situé en dehors de l'espace limité par la sphère de plus grand rayon de la couche, ou dans la partie creuse.

11 est évident que dans ce cas, à cause de la symétrie autour du point 0, la fonction potentielle est une fonction de la seule distance OP ; car pour tout point P' situé à la

24 LEÇONS SUR l'ATTRACTIOiN

même distance de que Je point P, ratlraction aurait la même valeur. Soit OP = r.

Puisque u est une fonction de r seul, on peut poser u égal à une fonction quelconque de r, par exemple :

Soient trois axes de coordonnées rectangulaires passant par le point ; nous avons, en appelant a, p, y les coordonnées du point P,

r = Va' + p^ + Y2;

pour achever de déterminer m, remarquons que u doit satisfaire à l'équation de Laplace, puisque le point P n*est pas compris dans la masse attirante, nous devons donc avoir

Aw = o, c'est-à-dire :

Calculons les dérivées ;r-» t~5' etc.. nous aurons :

0% doL^

ou , /1\ r

, , , . Dw ^^U ^U ^^u

nous calculerons de même rr> ct^j ;r"' r^'

dp 0^^ oy Of^

Faisons la somme^ on aura : ^

mais

is r-? 4- ^^7:5 + ^TT = o» on le vérifie facilement (*)

da^ ^p'* dy'

Nous aurons donc :

f <) r = \/«» + p2 + yS = (a» + ^» + y')'.