V- = - 1 («' + p» + -/f'.Sa r- a (a« + p
r = (a? + p9 + Y'fâ + 3a2 (a« + p2 ^ ^2) i,
■^ = - (a« + pî + Y*r > + 3^2 („2 | p« + y2) -i,
Ajoutons membre à membre :
c'est une nouvelle relation à laquelle doit satisfaire la fonction M, elle montre que l'on doit avoir :
ou :
OU encore :
Il en résulte que la fonction potentielle u est de la forme
? yr/ " ?' ' '
Détermination des constantes G et G'. — i"" Supposons P eœlériew* à la sphère de rayon R^. Si le point P s'éloigne
indéfiniment, u doit tendre vers o,et comme — |- G' tend vers
G' pour r infini, il faut que G' = o, donc w = - ; or le produit
ru doit tendre vers la valeur M de la masse attirante, quand le point P s'éloigne indéfiniment, donc :
et nous avons dans le cas présent où ?• > R^ :
c'est-à-dire que, dans ce cas, la fonction potentielle est rigoureusement la même que si la masse attirante était concentrée au point 0, d'où le théorème suivant dû à Newton :
Th\e couche s phérique homogène attire les points extérieurs comme si toute sa masse était réunie en son centre.
2° Supposons P placé dans la partie creuse de la couche sphérique, c'est-à-dire inlérieur à la sphère de rayon Rq,
»• < Ro, nous avons toujours :
dans le cas présent on peut faire coïncider le point P avec le centre de la couche attirante; on en déduit que C = o, car si G était différent de o on trouverait u infini, ce qui est impossible, puisqu'on a démontré que u était fini pour tous les points de l'espace.
Donc G = o ; il reste :
c'est-à-dire que west constant pour tous les points compris dans la partie creuse, d'où :
'du t)te t)w
Di = ^' ^==^' ^^ = ^'
et
c'est-à-dire que l'attraction est nulle, d'où le théorème dû à Newton :
Une couche sphérique homogène n^exerce pas d'action sur les points situés à V intérieur de cette couche.
Calcul de la constante G'. — Plaçons le point P au centre.
Calculons la valeur de la fonction potentielle correspondant à l'attraction d'une couche sphérique infiniment mince sur le point P supposé placé en o.
Soient R et R -f- c?R les rayons de deux sphères concentriques.
Le volume de la sphère de rayon R est :
y =1 TcR»,
le volume compris entre les deux sphères précédentes est :
dY = 47rRVR,
la masse totale de ce volume est :
prfV = 4up.R^cfR.
Pour avoir la valeur de la fonction potentielle correspondant à Tattraction de celle couche sur le point o il suffît de se rappeler que, par définition, la fonction potentielle est la somme des quotients obtenus en divisant la masse de chaque élément de la masse attirante par sa distance au point attiré ; mais ici tous les éléments de la couche infiniment mince sont à la mt'^me distance R do point attiré, la valeur de la fonction polentiello s\^bliendra donc en divisant par R la somme des niasses élémentairt^s de la couche infiniment mince, c'est-àdire la quantité ^dr^ et sVorira
