c^Rcm
alors lu valeur d^ la fonction potentielle ci^mespondant à une coorht d*epiii$$<^ur finie eomjMrise entr^ deux sphères de rayon
Rg el R| sera :
= 47r r pRc^R = G'.
Cette valeur de u est bien une constante car p est une fonction de R, et u est exprimée par une intégrale définie.
Cette valeur de u convient à tous les points P de la partie creuse et en particulier au point 0.
La valeur du second membre :
/ïRl
At: pRrfR
«^'ro
est la valeur de C que nous cherchions.
3** Valeur de la fonction potentielle u correspondant à Vattraction d'une couche sphérique sur un point P situé à V intérieur de la masse attirante. — Soit OP = r {/ig. 7).
Partageons le volume en deux à Taide d'une sphère de rayon r, nous déterminons ainsi deux couches :
1° La cuuche comprise entre les deux [sphères de rayon Ro et r;
2* La couche comprise entre les deux sphères de rayon r et R^.
Appelons u^ la valeur de la fonction potentielle correspondant à l'attraction de la première couche ;
Mj la valeur de la fonction potentielle correspondant h l'altraclion de la seconde couche.
Fig. 7.
Le point P est à l'extérieur de la première couche et dans la partie creuse de la seconde.
Pour avoir la valeur de la fonction potentielle u correspondant à l'attraction de l'ensemble des deux couches, écrivons :
Calcul de u^, — Pétant à Textérieur de la première couche, la valeur u^ de la fonction potentielle est la môme que si la masse attirante était concentrée au centre, u^ est donc le quotient de la masse M^ de la première couche par ia distance r
Mi
Mais:
M^ = r47:R«prfR,
car 47uR2pG?R est la masse élémentaire.
Donc:
ao
w^ = — rvi^dK.
Calcul deu^* — P étant dans la partie creuse, nous avons, en appliquant la formule générale w = 4?: ; pRef R,
Ho Ri
pRrfR,
puisque la seconde couche est comprise entre les sphères de rayon r et R^.
Par conséquent, si le point P est compris à Tintérieur de la masse attirante, c'est-à-dire si
LEÇOiNS SUK l'attraction 31
la foncUon potenlielle aura pour valeur :
M = M^ -f- Wj = — riVpdR + 47C f%RdR;
nous pouvons calculer ces intégrales dans chaque cas puisque p est une fonction donnée de R.
En résumé on a :
!• Si r > il, , M = - = ^ r H^prfR,
20 Si r < R^, '^^ = îi = -ij ^'P^^ = ^V f'^^^'
3» Si Ro < r < R^, m = ^ r R^^clR + 47u T^'pRrfR.
On peut retrouver les deux premières formules à Taide de la dernière :
u=z— Tr^pc^R + 47C r^pRc^R.
Pour retrouver la formule du premier cas, faisons tendre r vers R| par des valeurs croissantes, nous voyons que le
pRc^R s'annule et le
premier devient ^ / R^pc/R, donc :
R4«/ao
" = ij^'^"^^
ce qui donne la première formule, car R^ représente la distance du point P au centre de figure.
Pour retrouver la formule du second cas, faisons tendre r vers Rq par des valeurs décroissantes, nous aurons, en remar*-
quant que le premier terme du second membre s'annule,
y 'Ri pR.aR, Ra
qui est la formule établie dans le second cas.
Cas où p est constant. — Dans ce cas les formules se simplifient, on peut effectuer les intégrations et on trouve :
M = I Trp (R? - 113),
1« cas, r > R, ^ = T^ (^< "" ^o)»
2* cas, r <Rq w = 27cp (RJ — RJ),
3« cas, Ro<r<R, w = f^ ^|' M^ + 2^p(R2 ^2).
Lorsque p est constant, il est facile de vérifier que dans le troisième cas u satisfait à (équation de Poisson :
Au = — 47rp.
Pour cela ordonnons le second membre de l'expression de u par rapport à r :
telle e&t Texpression de la fonction potentielle correspondant au cas où le point P est dans la masse attirante, R^ < r < R^ .
Or:
LEÇONS SUR l'attraction 3S
de même :
Ajoutons membre à membre, nous aurons :
car:
d'après un calcul précédent.
