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■ expériences de M. Liebig (*) avec des sphères de Q',yf} tyon donnent des résultats entièrement de même ordre.

i.'h. BjttLLB, Ann. de Ch. ef de I; t8R3.

», Ph. Jfsj. |5], t. XXIV. 1

liW MESL'ltKS ÉLECTRIQUES.

A [jarl quelques îri't^gularilés, dont il convient de l'aire abv Lraclion, ce tableau conduil à plusieurs remarques :

r Le potentiel explosif diminue avec la distauce. mais, lieu de tendre vers zéro, il semble avoir une limite voisine 1 ,a5 ou 1 , c'esl-ft-dire qu'une différence de potentiel finie, voisine de 4f" ou de 3oo volts, serait nécessaire pour produire l'étincelle à une distance infiniment petite.

a" Il n'existe aucune relation directe entre le champ électrique (ou la densité) et la dislance explosive; le champ diminue à mesure que la distance explosive augmente.

il" La dernière colonne montre que la dérivée du potentiel explosif par rapport à la dislance est sensiblement consUnle et égale 6 loo h partir de e = o',o-. La courbe des potentiels en fonction de la distance diffère alors très peu de la droite L, représentée par V = iï+ luoe; les différences de la seconde et de la quatrième colonne sont, en effet, de l'ordre des erreurs d observation .

4" La dérivée du potentiel semble même passer par ua maximum au voisinage de e=o,ooa, La courbe V. devenue inférieure à la droite L, aurait un point d'inflexion et pou^ rail passer par un minimum Vn pour une certaine distancée», au-dessous de laquelle la dérivée serait négative. Si la conclusion est exacte, il y aurait une distance critique c« au-dessous de laquelle l'accroissement de distance faciliterait 1> production des élincelles. Ce fait imprévu sera confirmé par les expériences ji basse pression.

180. Sphères égaies. — Dans l'intervalle de deux sphèf» de même rayon le champ n'est plus uniforme. Si l'une des sphères communique au sol, le maximum de densité aw points opposés du diamètre commun se trouve sur celle qui est électrisée et il est possible de calculer dans chaque cas II valeur correspondante F du champ électrique maximum.

Les expériences de M. Baille sont assez concordantes avec celles de M. Paschcn ('). Nous reproduirons quelques-uns des nombres obtenus par M. Baille dans deux séries qui présentent de légères différences aux distances communes, M y ajoutant, comme termes de comparaison, les valeurs relatives à deux plans parallèles :

.HBR, Wied. Ana.,l. .\.VXVIl,p, "8; 18M9.

f'ilO MKStBES ÉLKCTmOI-'ES.

781. Problème des deux sphères. — Le champ produit pai deux sphères voisines à des polenliels difTérenls peut élre (WtermiDé par le principe des images (114). Considérons deU sphères A et A' de rayons a et a, dont les centres sontO ef 0'. La première ayant reçu une charge primitive y et la seconde étant au sol, les charges des images successives sont —fi.yi — Vs> 7i,...,les images négatives d'ordre impair étant situtles à l'intérieur de la sphère A' et les autres dans la sphère A. Par la superposition des couches relatives h toutes ces images, le polenliel Vi sur la première sphère est ^^aV.eile potentiel est nul sur la seconde.

Désignant par a'x,, a'r,, ..., les dislances des images Vi.7a> ... au centre 0', par a.i-i, aj-,, ,.,, celles des images yî.y». ■■•, au centre 0, et par ca = c'a' la dislance 00 des centres, la condition des points conjugués (111) donne

f {c —x\).>-i=...= {c' — Xi„ .,)-ran= — ' ou d'une manière générale, en posant a — ba, d'où r=:k\

D'autre part, les charges successives sont

Pour déterminer les valeurs F( cl F, du champ éleclriqus au voisinage des points B et B' oi!i le diamètre commun rencontre les surfaces en regard, on remarquera que la disUnf* du poinl B î» l'image q2„ esl égale h a{i —.Vi„) et sa distaocr à l'image —^i,,-, peut s'écrire, d'après (r),

'/« = '/-c,.ri J..

De même, les distances du poiut opposé B' aux "l^"'

mages — y^n+i elqan sont a'(l —Xan+i ) = «/>( i — :ra„+,) et

a(c — X2n) — a'=:a[c — Xan — b)=zab

I — .^an+l

On a ainsi, par l'ensemble de toutes ces masses,

3u, en groupant les termes deux à deux et remplaçant les :îharges par leurs valeurs (2),

1^1 — —ri I -f- Ui a*2 -, — -h . . . H- ^« .rj . . . X2rt 7 rr- 1

aV^^L (i.r,)2 -r (i — X2n+irJ

Désignant par j, et j ( les séries précédentes, on peut écrire

Un calcul analogue déterminerait les valeurs — F '2 et — F2 du champ aux mômes points B' etB lorsque la sphère A' est Hu potentiel V2 et Tautre au sol :

Enfin, la superposition des deux états correspond au cas où les potentiels sont respectivement Vi et V2 ; le champ F au point B est alors

Ces différentes séries ne sont pas sous une forme commode jour le calcul, parce que les facteurs .r,,.r2, ... se déduisent

successivement les uns des autres. Leur convergence est lente pour des sphères très voisines, mais elles sont utilisables dès que cette distance est supérieure à la moitié du plus petit rayon. En effet, à partir d'un certain terme, les suivants peuvent être considérés comme une progression géométrique, en remplaçant le produit .^n^n+i par sa valeur limite.

Les valeurs limites x et x de x^n et x^^^-k correspondent aux points respectivement conjugués par rapport aux deux sphères. Pour la limite x^ on déduit de la relation

Les deux racines de celte équation sont positives, l'une inférieure et l'autre supérieure à l'unité, et Ton doit prendre la plus petite racine. La valeur de x s'obtiendrait, de même, en remplaçant c par c et h par son inverse.

Lorsque les sphères sont d'égal rayon, auquel cas i=ie* j2=JÎ, on a plus simplement

En outre, si l'on suppose Vi-+-V2=o, il en résulte

Pour une môme différence V = V« — Vo de potentiel, les champs F et F4 sont respectivement proportionnels à / ou jh suivant que les sphères sont à des potentiels égaux et de signes contraires ou que l'une d'elles est au sol. Il est naanifoste que Tintensilé du champ et^ par suite, la densité élec-

e dans le second • â mesure que h

d'une ma-

en chaque

lie méthode,

l'équation (4)

x{cx — l)

tenant compte de (5)',

■ • • I vU

iMMjuelconque des fractions comprises "lit s'écrire

I calculé une Table de la fonction j , à partir

I Insiitul, pour IKll, p. 1 et 163.

•nrnal de Crelle, t. LIX, p. J<9; 1K61. 'lil. Ma(j. [5], t. XXIX, p. 182 ; 1890.

dé C = 2, 1 ; c'est celte table qui a servi à déterminer le champ maximum F dans les expériences précédentes (780).

Lorsque la distance e des sphères est inférieure à celle limite, les séries ne sont plus assez convergentes; un aulre calcul de Kirchhoff conduit à Texpression suivante, que l'on peut réduire à ses deux premiers termes :

,. V, r i e I e2 TV

Le rapport des séries j et /< est égal à Tunité quand la différence c — 2 est très petite et varie d*abord très lenlemenl. Nous avons calculé également les valeurs de j, qu'il est utile de considérer dans certains cas.