COUPLES

544. Moments d'inertie. — Le couple qui tend à ramener vers sa position d'équilibre un appareil mobile autour d'un 8^6 pourrait être déterminé par l'action d'un couple antagoniste, tel que celui que l'on obtiendrait par un poids attaché i l'extrémité d'un bras de levier de longueur connue ; cette méthode directe a été employée par Wertheim (*) pour étudier Télasticité de torsion des barres métalliques, mais elle ^t rarement applicable. Dans la plupart des expériences, surtout quand il s'agit d'appareils légers, la valeur des couples Rétorsion se déduit de l'étude des oscillations.

Lorsque le couple Cx est proportionnel à l'angle d'écart .i-, ce qui est généralement le cas pour les oscillations de très faible amplitude, et que l'amortissement est négligeable, la période T des oscillations infiniment petites donne (528), en appelant N la fréquence, c'est-à-dire le nombre des périodes par seconde,

' Wertheim. Ann. de Ch. et de Phys. (3], t. L, p. VJb et 385; 1857.

Si les oscillations sont amorties, on conservant le caractère d'isochronisme, on a (532)

z4;:SN=-

La valeur du couple C relatif U l'unité d'angle sera aiuM' déternainée par le moment d'inertie K du système el par l'étude des oscillations.

Le moment d'inertie d'un système rigide autour d'un a est la somme des produits de chacune des masses "' par carré r^ de sa distance à l'axe. On peut toujours poser

La quantité k ainsi définie est le rayon de giralion ; c'i la distance à laquelle devrait être portée la masse totale Ifi du système pour que le moment d'inertie restât le môme.

Ces moments d'inertie jouent un rôle si important dans U expériences qu'il est utile d'en rappeler ici les principal) propriétés.

Considérons un système quelconque rapporté â des axi rectangulaires d'origine O. Soient^*,/, sles coordonnées d'ui masse élémentaire m et a, ^, y les cosinus directeurs d'um droite quelconque passant par l'origine. La distance r de l'élément m h la droite considérée est

r»=yj-i-ja-i-r=-(au:-Hp y+Y;)5.-=;(P:— Yj)=+(T.f— «=)ï-H{ar— ^j

et le moment d'inertie du système par rapport à cette droite

Les quantités Sm (:^-t-.)=), sont des constantes lU

représentent les moments d'inertie du système par rappoil

aux axes de coordonnées; les quantités -m.r>-, soOÇ

également des constantes et l'on peut écrire

M/-^ = Aa= + B3" + Cyï — D-A^Y— yB'YX— aC o&.

Portant sur la droite une longueur égale à l'inverse du rayon de giralion k et appelant Ç, yj, Ç les coordonnées de rextrémilé de cette longueur, on a

(2) M = A;2-hBYî2-hCï-^-.2A'r,;-2B;Ç-9X'$Y3.

Comme le second membre de l'équation (i) est essentiellement positif, l'équation (2) représente un ellipsoïde ; un rayon vecteur quelconque est Tinverse du rayon de giration du système par rapport à la direction correspondante.

Si les axes de coordonnées sont parallèles aux axes de

Fip. i38.

l'ellipsoïde (2), les coefficients A', B', C sont nuls et les coefficients A, B, C positifs. Il en résulte, en posant

A = M/Î, B = MA-^, Cr=M/ii, (3) Xî5^ + A-^V + AiÇ==i.

Les quantités Xi, Aj, X3 sont les rayons principaux de girafon relatifs aux droites passant par Torigine. Le rayon de giration X relatif à une droite de direction (a, g, y) est alors

U) X-:^Xîa2 + X-2 3-4-XiiY^

Menons par le centre de gravité G du système (fig. i38) un plan perpendiculaire à un axe de rotation pour lequel le rayon de giration est X-. Soit /• la distance d'une masse m à cet axe et p sa distance à un axe parallèle au premier passant parle centre de gravité. En appelant rfla distance OG, et j- la projection GP du rayon p sur la droite OG, on a

r^ — p2 4- 1/^ -1- 2 dx ,

Le fadeur 2/H.r est nul en raison des propriétés da' de gravité; en appelant /g le rayon de giration relatif à droite considérée passant par le point G, il en résulte

(5) A" = Xjî + rf*.

La valeur de ft est la môme pour toutes les génératrice^ d'un cylindre circulaire droit dont Taxe passe par le centra de gravité.

Dans le cas d'un pendule composé oscillant autour de li droite O supposée horizontale, la période T des oscillation infiniment petites a pour expression

La longueur / du pendule simple synchrone est

La quantité d' est la distance, sur la droite OG, du centi de gravité à un point O' appelé centre d' oscillation. Con] on a dd'~kl, il en résulte que si l'on fait osciller le System autour d'une droite parallèle h la première et passant par I point O', la longueur du pendule simple synchrone ne serai pas changée; c'est le principe du pendule réversible.

545. Exemples. — Sans reproduire des calculs connus, suffira d'indiquer la valeur des rayons de giration principaid de corps homogènes ayant certaines formes simples.

Pour un paralléltpipède reclanrjle, dont les cfttés soni a", ai et ac, le rayon de giration relatif à une droite pan lèle au côté af est

Les rayons principaux de giration sont parallèles aux arête et respectivement proportionnels aux diagonale;* des fac< perpendiculaires.

Lorsque l'une des dimensions transversales, l> par exemple.

est très petite, corame dans le cas d'une lame allongée, on

peut écrire

yiiV ^a' y/'i\ ^9.a\

Pour un cylindre circulaire droit, à bases perpendiculaires à l'axe, de rayon a, le rayon de giration Ai relatif à Taxe est

égalà-=. Si Ton désigne par 2/ la longueur du cylindre,

le rayon de giration A*2 par rapport à une droite perpendiculaire à Taxe est

Dans ce cas, Tellipsoïde des rayons de giration est de révolution. Si Ton veut qu'il devienne sphérique, c'est-à-dire que tous les rayons de giration aient la même valeur, il suffira d'égaler les rayons principaux, ce qui donne la condition

Le moment d'inertie d'un cylindre creux, limité par des surfaces de même axe et de rayons a ei a\ est la différence des moments d'inertie des cylindres pleins ayant les mêmes rayons. 11 en résulte

Si l'épaisseur a — a'—e est assez petite pour q,ue le carré du rapport - soit négligeable devant l'unité, on peut écrire

2rt

Autour d'une perpendiculaire à l'axe, on aurait, de même,

èlectr. et Magn, — 11. 5

64) MÉTHiinES DE MESHiii:.

et la condition d'égalité des deux rayons principaux de gira-îj

tion devient.

Enlin, le rayon do j^iralion d'une sphère est et celui d'nne sphère creuse, de rayons « et a'.

Lorsque l'épaisseur a - n' = e est très petite par rapport a ■ayoD, celte dernière expression se réduit ti

Le moment d'inertie ne peut être obtenu avec une grande précision par le calcul, que si la forme du corps est de coiia> truction simple et les dimensions faciles à mesurer-

Le diamètre d'une sphère bien régulière, par exemple, ae déterminera plus exactement par la masse totale et la densité que par la mesure directe. Ce n'est pas la forme la plus tageuse, car il est préférable de charger le moins possible leti appareils oscillants et de choisir les corps qui ont pour ui même poids le plus grand rayon de giration.

Coulomb se servait d'un cylindre plein tournant autour dl son axe. Pour éviter la nécessité de régler le parallélisme, suffit que les dimensions du cylindre satisfassent à la condttion il^a<tj'i, auquel cas le rayon de giration est indépendant de la direction de l'axe.

Lord Kelvin recommande plutôt l'emploi d'un cylindre creux, reposant sur une lame mince, carrée ou circulaire» qui permette de le centrer exactement sur l'axe de rotation. Ces deux formes ont l'avantage de se prêter au travail dn tour, la vérification est facile et les frottements dans l'air

MESURES MÉCANIQUES. è?

très faibles. En outre, le défaut d'homogénéité de la matière a peu d'importance dans un cylindre creux, puisque toute la masse est à peu près à la même distance de Taxe.

On emploie souvent un barreau de grande longueur à section rectangulaire. La seule mesure importante est celle de la longueur, la dimension transversale n'intervenant que dans un terme de correction. La matière doit alors être bien homogène, car il ne suffit pas que le centre de gravité soit au milieu de la longueur pour être assuré que le rayon de giralion n'est pas altéré par les variations de densité. A poids i*gal, le moment d'inertie d'une lame mince peut être notablement plus grand que celui d'un cylindre annulaire. Si 1 on coupe en effet cet anneau suivant une génératrice pour en former une lame, le carré du rayon de giration, qui était

^'•| I — j, devient -^.-( i H — :A\ pour de faibles valeurs des

ï^pports - et —, le moment d'inertie varie de i à -y = 3,29.

CL d^ «ij

546. Déterminations expérimentales. — Lorsque le système est de forme complexe ou hétérogène, son moment d'inertie K s obtient par comparaison avec un corps homogène de forme simple, en observant leurs oscillations autour d'un axe.

11 se présente deux cas distincts, suivant que le couple directeur, qui tend à ramener l'appareil à sa position d'équi- 'ibre, est indépendant ou non du poids du système. On peut d'ailleurs rendre l'amplitude des oscillations assez petite pour que ce couple Cr soit proportionnel à la déviation.

Dans le premier cas, on détermine la période T des oscillalions ou, s'il existe un amortissement sensible, la valeur de

On ajoute ensuite au système un corps auxiliaire, de moment d'inertie connu K', et on détermine de la même manière, )ar l'étude des nouvelles oscillations, la quantité

et la condition d'égalité des deux rayons princip tion devient

Enfin, le rayon de giration d'une sphère est

et celui d'une sphère creuse, de rayons a et a'

Lorsque Tépaisseur a —a'—e est très peli rayon, cette dernière expression se réduit i»

Le moment d'inertie ne peut être oblf précision par le calcul, que si la forme il truction simple et les dimensions faciles

Le diamètre d'une sphère bien régui déterminera plus exactement par la maque par la mesure directe. Ce n'est pas tageuse, car il est préférable de charg* appareils oscillants et de choisir les même poids le plus grand rayon d<r

Coulomb se servait d'un cylindre son axe. Pour éviter la nécessité d<suffit que les dimensions du cylind tion 2/ = a y 3, auquel cas le rayo' dant de la direction de l'axe.

Lord Kelvin recommande plu creux, reposant sur une lame u qui permette de le centrer exact' Ces deux formes ont Tavantagi^ tour, la vérification est facile

MESURES JIKCAMQIES.

(rois espèces d'oscillations, les qimiilités C, K el K, seront dêlerminées par les équations

\\ csL tilile de répéter la troisième observation avec d'autres valeurs de la distance d et de calculer les inconnues en combinant les difîérentes équations.

Dans plusieurs circonstances, il y a lieu de craindre, quel <|ue soit le mode de suspension du système mobile, que le cou[ilc directeur ne soit [las indépendant de la charge.

On dirige alors les expériences de manière à modifier le Domcnl d'inertie du système d'une quantité connue, sans en ïlt^rer le poids tolal. II suffit que l'équipage oscillant soit coroposé d'une partie lixc, de moment d'inertie K, et d'une partie mobile dont le moment d'inertie prenne dans deux positions successives des valeurs connues K' et K' ; \&\ est le ws lies sphères de Gauss placées à des distances dilTérentes. On a alors

Avec les deux sphères de Gauss, ou des masses m de forme quelconque placées successivement aux distances </' et d' et d'une manière symétri(|ue par rap|iort à l'axe de rotation, on aura simplement

SupposODS enfin que le couple directeur soit dans un raj)- [wrl connu avec le poids du système, que ce couple soit jiroportionnel au poids, par exemple, comme nous le verrons [KJur In suspension bifilaire. En appelant m la masse et K le nomcnt d'inertie du système primitif, m et K' les mCmes

quantités relatives au corps additionnel, et h un coefficient constant, les relations

m m -f- m donnent alors, pour les deux expériences,

L~mn — —y L — (m -+- m ) h = ^— -

Jv K-hK K'

//•* [m-\-m')p' [m-\-m')p''^ — mp-

547. Balance unifilaire. — La balance unifilaire, ou balance de torsion, a été imaginée par Coulomb qui en a montré les précieuses ressources pour la mesure des petites forces (*); elle se compose essentiellement d*un fil élastique, ordinairement de métal, fixé à sa partie supérieure et soutenant un système quelconque tel qu'une aiguille légère terminée pa^ une boule électrisée, un barreau aimanté, une sphère méla^ lique, un plateau, etc.

Le fil est attaché par sa partie supérieure à un tamboi^^ divisé; ce tambour, mobile en face d'un repère ou d'un ver nier, permet de mesurer la rotation qu'on imprime à l'exlr^^' mité du fil. Lorsque le système est libre et n'a pas par luimême de couple directeur, la position d'équilibre correspond au cas où le fil est sans torsion. S'il existe une action extérieure, comme celle du champ terrestre sur un aimant, on peut toujours, |)ar une rotation convenable du tambour, amener le syslcme dans la position qu'il prendrait sous la seule action directrice. Cette condition est évidemment réalisée si la position d'équilibre ne change pas quand on supprime Taclion extérieure, quand, par exemple, on remplace le barreau aimanté par un barreau de cuivre de même poids. Tout déplacement angulaire a du corps, à partir de cette position, détermine une torsion de même angle dans le fil. En outre, si l'on a fait tourner le micromètre supérieur d'un

(*) (loui.oMii, Mém. des savanls lUrangers, t. X; 1777.

angle A compté en sens contraire, la torsion totale du fil est la somme algébrique A -4- a des deux angles.

548. Lois de la torsion. — Si le fil porte un système sous- Irait à toute action étrangère et qu'on abandonne l'appareil à lui-même après Tavoir écarté de sa position d'équilibre, il exécute une série d'oscillations plus ou moins amorties. Les expériences de Coulomb ont montré que, dans des limites assez étendues, ces oscillations sont très sensiblement isochrones. Il en résulte que le couple qui tend à ramener le fil tordu à sa position d'équilibre est proportionnel à l'angle d'écart x; on peut donc le représenter par Cr,

La constante C représente le couple qui serait nécessaire pour tordre le fil d'un angle égal à l'unité, si la loi de proportionnalité s'étend jusqu'à cette limite ; c'est le coefficient de torsion du fîL L'expérience montre que sa valeur est sensiblement indépendante du poids du corps suspendu, autrement dit, de la tension du fil.

Lorsque le fil est cylindrique et de section circulaire, de longueur / et de diamètre rf, on peut écrire, en désignant par ;a une constante,

Le coefficient de torsion d'un fil est donc en raison inverse <Jesa longueur et proportionnel à la quatrième puissance du diamètre, ou au carré de la section ; le facteur constant (jl ne dépend que de la nature du fil et de sa température.

Pour d= I et /= i, on aurait C = [jl. La valeur \k est donc 1 expression numérique du couple capable de tordre d'un angle égal à l'unité un cylindre ayant un centimètre de diamètre et un centimètre de hauteur. Ce coefficient |i. est le quotient d'une force par une surface, ses dimensions sont L'^MT ^ ; il ne dififère que par un facteur numérique de ce qu'on appelle ordinairement la rigidité ou le second module d'élasticité.

Considérons, en effet, un cylindre droit de section S, et supposons que, l'une des bases étant fixée d'une manière invariable, on soumette tous les éléments de l'autre à des forces tangentielles, égales et parallèles, dont la somme est F.

72 MÉTHUUES Dlî MESURE.

Chaque section parallèle aux bases se dépliice d une quai proporlionnelle à sa ilislance U la base liïie ; le cylindre s'iiH' cline donc dun angle a indépendant de sa hauteur. La déformation étant très faible, l'angle ^i est proportionnel k la force par unité de section et t'on peut écrire

Le coefficient ? est le second module d élasticité ; il rcprét sente physiquement la force qui serait nécessaire pouf incliner, d'un angle égal h l'unité, un cylindre dont la sec* tion serait égale à l'unité.

Supposons maintenant qu'un cylindre circulaire, de lon^ (Tueur /et de diamètre d, soit tordu d'un angle .r; chacuoe des génératrices primitives devient une hélice. La base iaféi rieure étant fixe, le déplacement d'un point de la base supé" rieure, situé à une distance i- de l'axe, est égal à ;-.r. et l'iiï^,

!st ^^-1-1 I»;

clinaison de l'hélice correspondante sur 1

réaction élastique par unité de surface est x? et Sun moment par rapporta l'axe a?»'.

Le moment des réactions relatives à la surface d'une coi ronne circulaire comprise entre les rayons ;■ et r-t-dr a pou! valeur 2-ifr^dr.

Enfin, le couple de torsion Cx est l'intégrale de cett^ expression étendue à toute la base du cylindre, ce qui donnai

549. Coefficients d'élasticité. — Les fils élastiques ont dâd si nombreuses applications dans les appareils de torsion qu'il est utile d'examiner de plus près les propriétés des différentes substances auxquelles on peut avoir recours.

Lorsqu'une tjge cylindrique est tendue par un poids ci pris entre certaines limites, elle éprouve un allongement tenui

MKSLHES MECANIQUES. l'.i

porairi- : proportionnel à sa longueur primilive /, ati poids teiist'ur P el en raison inverse «le la section S :

Lccoeflicienl E. cjiic l'on appelle /^rtf/niVr module d'élastieilé, ou module d' Voung, représenterait la tension nécessaire, paruiiilé de section, |iour doubler la longueur du cylindre ; H n les irn^mes dimensioas que le second module ?.

I Fait, on ne larde pas à dépasser les limites d'élasticité et le cylindre, une fois déchargé, ne reprend plus ses dimensions primitives, il a éprouvé un allongement permanent qui Dodilie ses propriétés.

OuanJ on augmente la charge, il arrive enfin que le Td se rompt. La ténacité est la tension maximum '1" par unité de leclion correspondant 5 la rupture; c'est encore une grandeur e infinies dimensions.

Lu détermination du coefficient de torsion C d'un lîl, ou du econd module ^, par les méthodes qui précèdent, ne laisse Bs que de présenter des difficultés sérieuses.

Les fils de métal doivent être recuits avec le plus grand

Eun, de manière il faire disparaitre toute trace de torsion

ilérieure ; sans celte précaulîon, la position d'équilibre se

lacerait avec le temps et la réaction élastique ne serait

s la même de part et d'autre.

Les expériences de Coulomb tendent à montrer que le )efficienl C est indépendant de la tension, mais cette loi 'est qu'approchée. En réalité l'élasticité d'un fil diminue

landla tension augmeiile, déduction faite de la variation qui IsuUe des changements de longueur et de diamètre (').

Ca fi! tordu d'abord, puis laissé libre, conserve une torsion tsiduelle qui disparaît ensuite Icnlement. D'après M. Wiedelann ('j, cet effet se produirait môme sous les angles les lus petits; dans le mouvement oscillatoire d'un système Bpendu par un fil métallique, la position d'équilibre serait

chaque instant déplacée par les oscillations.

f)Sir W. Thommti (Lorh Kelvih). Eactjc. Bril.. article ■■ Elaslicily •■.% »]. p] G. WiKDBiiAiDt, WiW. Ana., t. VI. p. iSS; 1870.

«4 METHOUBS OË MESURE.

De même, les oscillations ne sont pas absolume ciironcs; la période croît avec l'angle d'écart, de so la rigidité est d'autant plus grande qu'on la déterm des oscillations de moindre amplitude. On peut attrj ia même cause une partie des écarts entre les valei coefficients trouves par la méthode des oscillations ou méthode statique; ces derniers, qui sont les plus peB toujours été déduits de torsions plus considérables.

La rigidité diminue quand on maintient la torsion une expérience citée par lord Kelvin, une torsion pem de 10 tours faisait perdre, à un fîl de cuivre de 3",5o gueur ei de o«, 1 54 de diamètre, la fraction o,o5 de sa i pour luo tours, la diminution dépassait u,i et elle d'une manière plus lente jusqu'il la rupture du fil. ' gement permanent produit le même cffel.

Une autre remarque importante, due à lord K que la rigidité d'un (il diminue temporairement ' longue période d'oscillations ; il se produit dans l< sorte de fatigue élastique.

Les amplitudes successives varient sensiblem^ gression géométrique, au moins entre certaines l'amortissement croît d'une manirre manifeste poi écarts. La cause retardatrice est donc à peu tîonnelle à la vitesse. Le frottement de l'air i que pour une faible part; le phénomène est d< de viscosité métallique, qui est l'analogue du frics liquides. Un corps no peut changer de forr lument élastique, sans qu'il y ait dépense ' d'énergie. La viscosité augmente avec la tensî' du fil ; toutes choses égales, les oscillations vite avec un fil maintenu pendant longtemps ' s'il était resté en repos pendant le même le

La viscosité du zinc est exceptionnellemei peut jamais, avec un fil de ce métal, compt< nombre d'oscillations.

Les propriétés élastiques des métaux si ple.\es (') et varient beaucoup avec le me

(1) W. I'Ki>..iE, Phil. Mag. [;

!WRSunj:s mécaniques. ",'>

6 df- pureté; les résultats obtenus par divers obser- Itctin prt'SCQtunl les plus grandes divergences. iLes nombres du tableau suivant, que l'on doit ainsi consippcrà titre d'indications approximatives, sont rapportt^s au totoitre et au poids du gramme. Pour avoir leurs valeurs D unités C.G. S,, c'esl-à-dire en dynes par centimètre carré, suffit de les multiplier par ^', ou r(Si.

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Giifi •

ftLe rapport des modules E et ç sVicarlc peu de la valeur 3 «M. Voigt attribue aux corps parfaitement isotropes.

;8 choses égales d'ailleurs, un til sera d'autant plus insîble que, pour un roupie de torsion déterminé, il pourra liorter la plus grande charge, c'esl-à-dire que le rapport des roefficienls s et T sera plus petit. L'argent semble préférable à Ce point de vue et il présente d'autres qualités qui l'ont (oit souvent employer dans les appareils de torsion, mais sa viscosité parait un peu trop grande.

550. Influence de la température. — Les propriétés élasliiiues varient beaucoup avec la température. D'après les expériences de M, Kolliruuscb f') sur quelques métaux, le foefficient «le torsion U la température / s'oblienl en multi-

■ (le >"^ Cuivre + Vi Klain.

■ lie 3 AnC''nt + 1 Platin.'.

.-H, Pogg. Ann. [3], l. CXLI. p

MÉTHOOES DE MESURE.

pliant sa valeur à zéro, par un facteur de la forme i - On aurait, par exemple :

Fer 4.47-10'' 5,2, ic'

Cuivre ,"),:»o 2,8

Laiton 4,-'» r-^Â

Comme le cocflicient de torsion, pour un même fil à différentes températures, est proporiioniiel à son volume, si X est le coefficient de dilatation linéaire, le coeflicient C relalifi la température i sera donné, en fonction de sa valeur C, à zéro, par la formule