I. la longueur du fil comptée suivant son axe

(/ et p la masse spécifique et la résistivité du métal, t la ^eclion droite du til ;

û et «■ les rayons intérieur et extérieur de la bobine ;

■)c l'épaisseur de la gorge suivant le rayon ; -xf^ti' — a' ;

ii la longueur de la gorge suivant l'axe ;

» la section méridienne de la gorge : M=-^l>[a'' — a') = 4hc;

a la dislance de l'axe au milieu de la section : 2« = a'-t-H";

l'Ie volume de !a gorge : V=:-2-(a"'' ~ a'')l>=:-iT:ai.i;

V le volume du métal et V le volume des fds couverts ;

P = Vrf ta masse du métal;

«I et «î le nombre des spires par unité de longueur suivant l'axe de la bobine et suivant le rayon, ou h, et /i» leurs dis- , lances correspondantes ; n,/i| =«3/1^= i ;

N le nombre total des spires : N=n|rtîiit = 4«i«i'''-

Ces données permettront de déterminer les autres éléments, ainsi que les propriétés électriques de la bobine.

Laissant de côté, pour le moment, les efTels d'induction,

fjg aurons à calculer :

'La résistance totale H du lil :

'' La surface totale S, c'est-ii-dire la somme des surfaces litées par les différentes spires, ou le momeot magnétique la bobiue pour l'unité de courant; i° Le champ électromagnétique G de ta bobine en chaque Dt. pour l'unité de courant. 55 Longueur du fil. — Rayon moyen. — Si te pas A, des ifs est très petit par rapport au diamètre de la bobine, la ^eur d'une spire, dont la projection sur un plan perpen- <Iiculaire à l'axe est une circonférence de rayon r, peut s'écrire

Dans la plupart des cas, le terme de correction est négligeable et on peut confondre la spire avec sa circonférence de projection.

La circonférence moyenne des spires d*une bobine est la moyenne des circonférences de toutes les spires ; le rayoït moyen est donc la moyenne de tous les rayons, c'estrà-dire la distance a du milieu de la gorge à Taxe de la bobine, et la longueur totale du fil est

(i) L = sè7:aN=: 2 7:a/i|/i2<^ = 'ïf'ïaU = 87:/i|/ijaAc.

Si Ton tient compte de l'obliquité des spires, cette expression doit être multipliée par i -ho > •

556. Volume et masse du fil. — Lorsque Tenroulement est uniforme, /i| =712, on peut considérer chaque fil comme occupant, dans la section méridienne de la gorge, le milieu d'un carré dont le côté est h^.

Le fil nu occupe une fraction /if?:/' de la surface du carré et la section totale du fil couvert une fraction n'\7:{y-^zf de la surface de la gorge. Chacune de ces fractions est maximum quand les fils se touchent : le côté du carré est alors égal au

diamètre du fil et la dernière fraction a pour valeur ■^•

Le rapport du volume total du fil à celui de la gorge étant égal à celui des sections, on a, pour des fils en contact.

"U-DV y ) ~4'

(3) ^ = Md='^\id(-^

Lorsque l'épaisseur z de l'isolant est dans un rapport constant l avec le rayon / du fil, le poids du métal est simplement proportionnel au volume de la gorge.

Lorsque les fils sont en contact et l'enroulement uniforme on a A, = s),(j-f-r) et, par suite,

(4) U = /«îL.= ^, =.4(/ + r.)M..

PROPRIKTÉS DES COURANTS CIRCILAIRES. 89

La longueur totale L est égale au quotient du volume de la gorge par le diamètre du fil couvert.

557. Résistance. — D'une manière générale, la résistance de la bobine a pour expression

Pour des fils en contact, avec enroulement uniforme, . „ L «ÎU U V

Si le rapport S est constant, la résistance est proportionnelle au volume du fil, ou de la gorge, et en raison inverse du carré de la section. La première conclusion est évidente. On peut arriver directement à la seconde en remarquant que, si Ton réduit de moitié le diamètre du fil, la section devient quatre fois moindre et, pour remplir le môme volume de gorge, la longueur doit être quadruplée; la résistance est donc multipliée par i6.

558. Surface. — Moment magnétique. — La surface électromagnétique d'une bobine est la somme des projections, sur un plan perpendiculaire à Taxe, des surfaces entourées par toutes les spires; c'est le moment magnétique de la bobine pour Tunité de courant.

La surface d'une spire de rayon /• est xr^. S'il existe P couches, To étant le rayon de la première, et qu'on représente par rr=ro-l-a celui d'une couche quelconque, on a

Le rayon a^ du cercle moyen, dont la surface est la moyenne de celles de toutes les spires, est défini par l'équation

{^1 ti'i — r'i-h 'i To 1

D'autre part, le rayon moyen a donne

tf — /'o H 1 a- -- rj -h 2 /'o Kl- 1

La surface totale S de la bobine est égale à N^a^ et on peut écrire

Si Tenroulementest homogène, les rayons successifs varient comme les termes d*une progression arithmétique dont la raison est h^ et Ton devra donner à la quantité a la suite des valeurs o, h^, '^.h^, (/;— i)/i2. On a alors

--a — fi'i » — a- — n,2 :î ? 1

l^Y=PlM(,-L\\ -^=p

Il en résulte, en tenant compte de la relation VLC=:pht = -^

-;}"V' />V '-^V' 4«ic»j

(7) '^■'-■''^-^^['-ri^]

Si les spires sont assez serrées pour que le dernier tennC de correction soit négligeable, le rayon ai ne dépend que dc^ dimensions de la gorge.

Dans ce cas, pour une gorge donnée, la surface de 1^ bobine est proportionnelle au nombre des spires et, par suite* en raison inverse de la section du fil.

Pour un fil donné et des volumes semblables de la gorge« la surface est, d'une part, proportionnelle au nombre de^ spires, c'est-à-dire à la section de la gorge et, d'autre part, à la surface du cercle moyen ; elle varie donc comme la qua^ trième puissance du rapport des dimensions homologues.

559. Champ électromagnétique. — Imaginons d'abord que la gorge soit remplie par une masse métallique homogène et le courant réparti uniformément dans la section méridienne; la densilé du courant sera l'intensité par unité de surface.

l'ROpmtTKS ttKS

H,\>TS CIHCUI..'

Supposons maintenant que. par une série de lignes, les unes suivant des rayons, les autres perpendiculaires, on partage la section méridienne en carrés égaux de côté h,; le nombre de ces carrés par unité de surface sera n^. On divisera ensuite la masse métallique en une série d'anneau\ de même axe isolés les uns des autres et correspondant aux carrés de la section méridienne ; cette opération ne change rien à la (lislributîun du courant, ni à son action extérieure.

Si chacun des anneaux est parcouru par l'unité de courant, la densité du courant est nf ot le champ G en chaque point est proportionnel à /i^, c'est-à-dire qu'il varie en raison inverse de la surface des carrés élémentaires.

En remplai-ant chaque anneau par un til qui occupe la